¿De qué metal es la pieza? Incertidumbre y conclusión
En la feria científica del instituto, dos equipos deben identificar el metal de una pieza cilíndrica. El equipo A usa una balanza de 0.01 g de resolución y obtiene una masa de 8.42 g; para el volumen emplea una probeta de 25 mL con divisiones de 0.5 mL, en la que lee 15.0 mL antes de introducir la pieza y 16.0 mL después. El equipo B pesa la misma pieza en la misma balanza (8.47 g) y mide el volumen tres veces con una probeta de 10 mL con divisiones de 0.1 mL, obteniendo 0.9, 1.2 y 1.0 mL. Disponen de esta tabla de densidades en g/cm³: aluminio 2.70, hierro 7.87, latón 8.4-8.7, cobre 8.96 y plomo 11.3. El equipo A entrega el resultado 8.42 g/cm³ y concluye que la pieza es de latón. El profesor devuelve los dos informes sin nota y pide que se revise el tratamiento de los datos y la conclusión.
1. Calcula la densidad que obtiene el equipo A y estima su incertidumbre. ¿Qué metales de la lista son compatibles con el resultado?
Read the worked answer
La densidad es ρ = m/V, con V = 16.0 − 15.0 = 1.0 mL.
ρ = 8.42 g / 1.0 cm³ = 8.42 g/cm³
Pero la incertidumbre hay que estimarla antes de interpretar el número. Con divisiones de 0.5 mL, cada lectura admite ±0.25 mL; al restar dos lecturas, la incertidumbre del volumen es la suma en cuadratura, ≈ ±0.35 mL, es decir, ±0.4 mL, un 40 % del volumen medido. La masa, en cambio, tiene una incertidumbre de ±0.01 g (0.1 %), totalmente despreciable.
Intervalo: con V = 1.0 ± 0.4 cm³, ρ va de 8.42/1.4 ≈ 6.0 a 8.42/0.6 ≈ 14 g/cm³.
Son compatibles el hierro (7.87), el latón (8.4-8.7), el cobre (8.96) y el plomo (11.3); solo el aluminio queda fuera. La conclusión de que la pieza es de latón no está justificada: el resultado es compatible con cuatro metales distintos. Además, el dato 8.42 tiene tres cifras significativas cuando el volumen solo permite dos: habría que escribir 8.4 g/cm³.
2. El equipo B repite tres veces con una probeta de 10 mL y obtiene 0.9, 1.2 y 1.0 mL para una masa de 8.47 g. Calcula la media, la desviación típica y la densidad con su incertidumbre, y decide si ahora se puede identificar el metal.
Read the worked answer
Media: V̄ = (0.9 + 1.2 + 1.0)/3 = 1.03 mL.
Desviación típica muestral (n − 1 = 2):
s = √[((0.13)² + (0.17)² + (0.03)²)/2] = √(0.0468/2) ≈ 0.15 mL
La incertidumbre relativa del volumen es 0.15/1.03 ≈ 15 %, así que:
ρ = 8.47/1.03 = 8.2 g/cm³, con incertidumbre ≈ 1.2 g/cm³, es decir, 8.2 ± 1.2 g/cm³.
En ese intervalo entran el hierro (7.87), el latón (8.4-8.7) y el cobre (8.96); el plomo queda fuera. Sigue sin poderse identificar el metal.
Observa además que la dispersión entre réplicas (0.9 a 1.2 mL, recorrido 0.3 mL) es muy superior a la división de la escala (0.1 mL): el factor limitante no es la resolución del instrumento, sino la lectura del menisco, las gotas adheridas y las burbujas de aire. Repetir más veces mejoraría la media, pero reduciría el error aleatorio, no el sistemático.
3. Un alumno concluye: «nuestra densidad, 8.4 g/cm³, coincide con la del latón, luego la pieza es de latón». Evalúa el razonamiento y propón una mejora experimental cuantificando la mejora esperada.
Read the worked answer
El razonamiento confunde compatibilidad con identificación. Una hipótesis es compatible si su densidad cae dentro del intervalo de incertidumbre, pero cuando el intervalo es tan ancho caben varias hipótesis a la vez; para decidir, la incertidumbre debe ser menor que la separación entre las densidades candidatas. Entre latón (≈8.6) y cobre (8.96) hay un 4 %; se necesitaría, como mínimo, una incertidumbre relativa ≤2 %, muy lejos del 15-40 % actual.
Mejoras, de mayor a menor rendimiento:
- Pesada hidrostática (principio de Arquímedes): pesar la pieza en aire y sumergida en agua. Para 8.5 g de latón, el empuje equivale a ≈1.0 g de agua; con una balanza de 0.01 g la incertidumbre relativa del volumen baja al 1 %, suficiente para separar latón de cobre.
- Medir dimensiones con calibre (±0.05 mm) si la pieza es regular; en un cilindro, el volumen queda determinado con décimas de por ciento.
- Usar varias piezas iguales para desplazar un volumen mayor, que reduce el peso relativo del error de lectura.
- Controlar sesgos: eliminar las burbujas de aire (aumentan el volumen aparente y rebajan la densidad calculada), secar la pieza antes de pesarla y termostatizar el agua.
Con cualquiera de estas mejoras habría que repetir y expresar el resultado con las cifras significativas justificadas, no con tres decimales heredados de la balanza.