Logique et mathématiques : moyenne simple ou moyenne pondérée
Épreuve de logique et mathématiques. Une école fictive a reçu 1 200 candidatures. 45 % des candidats viennent hors région ; parmi eux, 60 % sont admis. Les candidats de la région sont admis à 75 %. Vous disposez de 2 min 30 pour deux questions. Un candidat de votre rang propose de faire la moyenne simple des deux taux : (60+75)/2 = 67,5 %, soit 810 admis. Un autre propose un tableau de contingence. Vous avez déjà calculé 0,45×0,60 = 0,27 et 0,55×0,75 = 0,4125. La calculatrice est interdite ; les calculs doivent être posés. Vous hésitez entre vérifier le 67,5 % par un contrôle rapide et passer à la question 2, sachant que la question 1 vaut 2 points et la question 2 vaut 3.
1. Calculez le nombre d'admis avec la méthode pondérée et expliquez pourquoi la moyenne simple de 67,5 % est fausse.
Read the worked answer
Externes : 1 200 × 0,45 = 540 candidats ; admis = 540 × 0,60 = 324. Région : 1 200 × 0,55 = 660 ; admis = 660 × 0,75 = 495. Total = 819. Taux global = 819/1 200 = 0,6825, soit 68,25 %. La moyenne simple (60+75)/2 = 67,5 % traite les deux groupes comme s'ils avaient le même poids (600/600). Or ils sont 540 et 660 : le groupe régional, plus nombreux et au taux plus élevé, doit peser davantage. La moyenne simple sous-estime donc légèrement le taux global (67,5 % contre 68,25 %). Erreur de raisonnement : moyenne de taux ≠ taux des moyennes ; il faut pondérer par les effectifs. Le tableau de contingence (admis/non admis × origine) est la méthode la plus sûre.
2. Parmi les admis, quelle proportion vient de l'extérieur ? Donnez le calcul et un contrôle de vraisemblance en une phrase.
Read the worked answer
Proportion = 324/819. On simplifie : 324/819 = 36/91 ≈ 0,3956, soit 39,6 %. Calcul posé : 819 × 0,4 = 327,6 ; 324 est juste en dessous, donc un peu moins de 40 %. Contrôle : les externes sont 45 % des candidats mais seulement 39,6 % des admis, ce qui est cohérent avec leur taux d'admission plus faible (60 % contre 75 %). Si l'on avait trouvé 55 % ou 60 %, il y aurait eu inversion des groupes. Attention à ne pas répondre 45 % (part des candidats) ni 60 % (taux d'admission des externes) : la question change de base.
3. Le candidat arrondit le taux global à 68 % pour aller plus vite. Quel effet sur la réponse précédente ? Faut-il le faire ?
Read the worked answer
Avec 68 %, le nombre d'admis devient 1 200 × 0,68 = 816, puis 324/816 = 0,3971, soit 39,7 % au lieu de 39,6 %. L'écart est faible ici, mais l'arrondi intermédiaire n'est pas neutre : il modifie le dénominateur et peut faire échouer un contrôle de cohérence. La bonne pratique est de garder la fraction exacte 324/819 jusqu'au résultat final, puis d'arrondir une seule fois. Faut-il le faire pour gagner du temps ? Non, car le calcul de 819 est déjà fait et la fraction se simplifie ; l'arrondi ne fait pas gagner de temps significatif et introduit un risque. En revanche, arrondir pour le contrôle de vraisemblance (« un peu moins de 40 % ») est utile et sans danger.