Cijena kave i najveća dnevna dobit
Vlasnik male pržionice kave prodaje posebnu mješavinu po 12 €/kg i dnevno proda 60 kg. Tržišno istraživanje pokazuje da se za svakih 0,50 € povećanja cijene potražnja smanji za 3 kg, a za svakih 0,50 € smanjenja poveća za 3 kg. Dnevni fiksni trošak je 90 €, a varijabilni trošak 5 €/kg. Vlasnik razmišlja koliko smije podići cijenu: želi maksimizirati dnevnu dobit, ali ne želi da potražnja padne ispod 35 kg jer bi morao otpustiti radnika. Trenutačno ostvaruje dobit, ali sumnja da bi poskupljenje od 1 € bilo najbolje. Treba procijeniti optimalnu cijenu, raspon cijena u kojem poslovanje nije na gubitku te uvjete pod kojima bi dnevna dobit bila barem 300 €, a prodaja najviše 55 kg. Cijene promatrajte u koracima od 0,50 €, ali dopustite i međuvrijednosti ako model to opravdava.
1. Definirajte x kao broj povećanja cijene od 0,50 €. Napišite funkciju dnevne dobiti P(x) i odredite cijenu i količinu pri kojima je dobit najveća, poštujući uvjet da potražnja ne padne ispod 35 kg.
Read the worked answer
Cijena je p(x)=12+0,50x, a količina q(x)=60−3x. Prihod je:
p·q=(12+0,5x)(60−3x)=720−36x+30x−1,5x²=720−6x−1,5x².
Trošak je 90+5·(60−3x)=390−15x, pa je:
P(x)=720−6x−1,5x²−(390−15x)=330+9x−1,5x².
Uvjet q≥35 daje 60−3x≥35, odnosno x≤8,333...; q≥0 daje x≤20. Ako promatramo samo poskupljenja, relevantni interval je [0; 8,333...]. Tjeme kvadratne funkcije je x=−9/(2·(−1,5))=3, što je unutar intervala. Cijena je 12+0,5·3=13,50 €/kg, količina 60−9=51 kg, a dobit P(3)=330+27−13,5=343,50 €.
2. Odredite raspon cijena u kojem pržionica ne posluje s gubitkom, uz uvjet da potražnja ne padne ispod 35 kg. Promatrajte samo poskupljenja u odnosu na početnu cijenu.
Read the worked answer
Tražimo P(x)≥0:
330+9x−1,5x²≥0.
Množenjem s −2 i sređivanjem dobijemo 3x²−18x−660≤0, odnosno x²−6x−220≤0. Korijeni su x=(6±√(36+880))/2=(6±√916)/2≈(6±30,265)/2, tj. x≈−12,13 i x≈18,13.
Uz x≥0 i uvjet q≥35, koji daje x≤8,333..., svi dopušteni x u [0; 8,333...] daju P(x)≥0. Cijena je tada od 12,00 € do 12+0,5·8,333...=16,17 €. Na gornjoj granici dobit je još pozitivna, pa gubitak nastupa tek pri većim cijenama izvan uvjeta o potražnji.
3. Vlasnik želi dnevnu dobit barem 300 € i prodaju najviše 55 kg. Odredite raspon cijena koji zadovoljava oba uvjeta.
Read the worked answer
Prodaja najviše 55 kg daje 60−3x≤55, odnosno x≥5/3≈1,667.
Dobit barem 300 € daje 330+9x−1,5x²≥300, pa je −1,5x²+9x+30≥0. Množenjem s −2: 3x²−18x−60≤0, odnosno x²−6x−20≤0. Korijeni su (6±√116)/2≈(6±10,770)/2, tj. x≈−2,385 i x≈8,385. Uz x≥0 interval je [0; 8,385].
Presjek s x≥1,667 daje x∈[1,667; 8,385]. Cijena p=12+0,5x tada je p∈[12,8335; 16,1925], odnosno približno od 12,83 € do 16,19 €/kg.