Dvije štedne sheme za ljetni tečaj
Studentica prikuplja novac za ljetni tečaj španjolskog koji košta 3 200 €. Ima 24 mjeseca. Banka nudi dvije štedne sheme. Shema A: prva mjesečna uplata iznosi 60 €, a svaka sljedeća uplata povećava se za 6 % u odnosu na prethodnu. Shema B: prva mjesečna uplata iznosi 100 €, a svaka sljedeća povećava se za 3 €. Uplate se obavljaju na kraju mjeseca, bez kamata. Studentica želi znati koja shema daje veći ukupni iznos nakon 24 mjeseca, u kojem mjesecu mjesečna uplata po shemi A prvi put premaši uplatu po shemi B te je li nakon 24 mjeseca dovoljno prikupljeno za tečaj. Roditelji su obećali dodati 250 € ako studentica sama prikupi barem 2 800 €, ali ta se odluka donosi tek na kraju razdoblja. Sve iznose zaokružite na cente, a broj mjeseci kao cijeli broj.
1. Izračunajte ukupne uplate prema shemi A i shemi B nakon 24 mjeseca. Koja je shema veća i za koliko?
Read the worked answer
Shema A je geometrijski niz s a1=60, q=1,06 i n=24. Zbroj je:
S_A=60·(1,06^24−1)/(1,06−1).
Uz 1,06^24≈4,04893: S_A≈60·3,04893/0,06≈3 048,93 €.
Shema B je aritmetički niz s a1=100, d=3 i n=24:
S_B=24/2·[2·100+(24−1)·3]=12·(200+69)=12·269=3 228,00 €.
Shema B daje veći iznos za 3 228,00−3 048,93=179,07 €.
2. U kojem mjesecu mjesečna uplata po shemi A prvi put premaši mjesečnu uplatu po shemi B? Potkrijepite provjerom za prethodni i traženi mjesec.
Read the worked answer
Mjesečna uplata po shemi A je A_n=60·1,06^(n−1), a po shemi B B_n=100+3(n−1).
Za n=16: A_16=60·1,06^15≈60·2,39656=143,79 €, B_16=100+45=145,00 €, pa A još nije veća.
Za n=17: A_17=60·1,06^16≈60·2,54035=152,42 €, B_17=100+48=148,00 €. Dakle mjesečna uplata po shemi A prvi put premašuje uplatu po shemi B u 17. mjesecu.
3. Je li nakon 24 mjeseca dovoljno prikupljeno za tečaj od 3 200 €? Uzmite u obzir i mogući dodatak roditelja od 250 € ako studentica sama prikupi barem 2 800 €.
Read the worked answer
Shema A daje 3 048,93 €. To je ≥2 800 €, pa roditelji dodaju 250 € i ukupno je 3 298,93 €, što je dovoljno za tečaj od 3 200 € (ostatak 98,93 €).
Shema B daje 3 228,00 €, što je već dovoljno bez dodatka. Budući da je i 3 228≥2 800, s dodatkom roditelja ukupno je 3 478,00 €, a ostatak nakon tečaja je 278,00 €.
Bez dodatka roditelja shema A sama nije dovoljna, dok shema B jest.