Anketa o instrukcijama i odabir povjerenstva
U gimnaziji s 120 učenika provedena je anketa o korištenju instrukcija. Od 120 učenika, 72 su u STEM smjeru, a 48 u humanističkom. Instrukcije koristi 30 STEM učenika i 18 humanističkih. Ravnatelj želi znati je li korištenje instrukcija povezano sa smjerom ili je razlika slučajna, ali nema vremena za formalni statistički test. Planira nasumično odabrati troje učenika za razgovor bez vraćanja te osnovati tročlano povjerenstvo u kojem su barem dva učenika iz STEM smjera. Učiteljica matematike tvrdi da je vjerojatnost da sva tri odabrana učenika koriste instrukcije manja od 5 %. Treba provjeriti tu tvrdnju, procijeniti razliku u udjelima korisnika instrukcija između smjerova i izračunati broj mogućih povjerenstava. Rezultate vjerojatnosti zaokružite na četiri decimale. Svi odabiri u povjerenstvu su bez ponavljanja i redoslijed nije važan.
1. Izračunajte vjerojatnost da slučajno odabrani učenik koristi instrukcije te uvjetne vjerojatnosti za STEM i humanistički smjer. Je li razlika dovoljna da se kaže da su instrukcije znatno češće u STEM smjeru?
Read the worked answer
Ukupno korisnika instrukcija je 30+18=48, pa je P(K)=48/120=0,4000.
Među STEM učenicima: P(K|S)=30/72=0,4167. Među humanističkim: P(K|H)=18/48=0,3750.
Razlika je 0,4167−0,3750=0,0417, tj. oko 4,17 postotnih poena u korist STEM smjera. Smjer pokazuje blagu povezanost, ali bez statističkog testa i s ovako malom razlikom ne možemo tvrditi da su instrukcije znatno češće u STEM smjeru.
2. Provjerite tvrdnju učiteljice: kolika je vjerojatnost da sva tri nasumično odabrana učenika bez vraćanja koriste instrukcije? Zaokružite na četiri decimale.
Read the worked answer
Vjerojatnost triju uzastopnih korisnika bez vraćanja je:
P(KKK)=48/120·47/119·46/118.
Brojnik je 48·47·46=103 776, a nazivnik 120·119·118=1 685 040, pa je P≈0,0616. Isto se dobije kombinacijama: C(48,3)/C(120,3)=17 296/280 840≈0,0616.
To je 6,16 %, što nije manje od 5 %, pa je tvrdnja učiteljice netočna.
3. Koliko ima tročlanih povjerenstava u kojima su barem dva učenika iz STEM smjera? Redoslijed u povjerenstvu nije važan.
Read the worked answer
Razlikujemo dva slučaja: točno dva STEM učenika i jedan humanistički ili sva tri STEM učenika.
Točno dva STEM: C(72,2)·C(48,1)=2 556·48=122 688.
Sva tri STEM: C(72,3)=72·71·70/6=59 640.
Ukupno je 122 688+59 640=182 328 povjerenstava.