Brojevi i algebra
Brojevi i algebra: što se ispituje
Domena obuhvaća računanje u skupovima N, Z, Q i R, svojstva potencija i korijena, pojednostavljivanje algebarskih izraza te rješavanje linearnih, kvadratnih, racionalnih i nejednadžbi s apsolutnom vrijednošću. Na ispitu Matematika A traži se točan postupak, provjera domene i zapis rješenja u skupovnom obliku, a ne samo konačan broj.
Pravila koja treba imati na umu
- Za realne brojeve vrijedi √(a^2) = |a|, a ne a; primjerice √((−5)^2) = 5.
- Potencije: a^m · a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(mn), a^(−n) = 1/a^n, uz a ≠ 0 kad je eksponent nula ili negativan.
- Korijeni: √(ab) = √a · √b i √(a/b) = √a/√b samo za nenegativne faktore, odnosno b > 0.
- Racionalizacija: 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b) za a ≠ b, a, b ≥ 0.
- Kvadratna jednadžba ax^2 + bx + c = 0 ima diskriminantu D = b^2 − 4ac; za D > 0 dva su realna rješenja, za D = 0 jedno dvostruko, a za D < 0 nema realnih rješenja.
- Kod nejednadžbe množenje ili dijeljenje negativnim brojem mijenja smjer nejednakosti; kod racionalne nejednadžbe rješenje se traži na intervalima između nultočaka brojnika i nazivnika, uz isključenje nultočaka nazivnika.
Riješeni primjer
Riješimo (x − 1)/(x + 2) ≥ 0. Domena: x ≠ −2. Nultočka brojnika je x = 1, nazivnika x = −2. Na brojevnom pravcu točke su −2 i 1; −2 je isključena. Predznak izraza na intervalima: za x < −2 i brojnik i nazivnik su negativni pa je kvocijent pozitivan; za −2 < x < 1 brojnik je negativan, nazivnik pozitivan pa je kvocijent negativan; za x > 1 oba su pozitivna. Uvjet ≥ 0 uključuje x = 1, a ne uključuje x = −2. Rješenje je x ∈ (−∞, −2) ∪ [1, ∞).
Zamke koje odnose bodove
Najčešće greške su kvadriranje bez provjere domene, zaboravljanje da je √(a^2) = |a|, množenje nejednadžbe nazivnikom bez rasprave o predznaku te navođenje rješenja bez isključivanja vrijednosti koje poništavaju nazivnik. Kod kvadratne nejednadžbe provjerite je li rješenje unija intervala ili segment; skica parabole pomaže, ali mora biti jasno obrazložena.