Funkcije
Funkcije: što se ispituje
Ova domena provjerava prepoznavanje i crtanje linearne, kvadratne, eksponencijalne, logaritamske, polinomske i racionalne funkcije, određivanje domene i slike, svojstva (nultočke, ekstremi, asimptote, monotonija) te transformacije grafa. Matematika A često traži povezivanje algebarskog zapisa s grafom i obrnuto.
Ključna pravila
- Linearna funkcija f(x) = kx + l ima nagib k; paralelni pravci imaju jednake nagibe, a okomiti umnožak nagiba −1.
- Kvadratna funkcija f(x) = ax^2 + bx + c ima tjeme x = −b/(2a); za a > 0 otvara se prema gore, za a < 0 prema dolje.
- Eksponencijalna funkcija f(x) = a^x, a > 0, a ≠ 1, ima domenu R i sliku (0, ∞); za a > 1 raste, za 0 < a < 1 pada.
- Logaritamska funkcija f(x) = log_a x ima domenu (0, ∞) i sliku R; inverzna je eksponencijalnoj.
- Racionalna funkcija može imati vertikalne asimptote u nultočkama nazivnika i horizontalnu asimptotu određenu stupnjevima brojnika i nazivnika.
- Transformacije: f(x − p) pomiče graf udesno za p, f(x) + q pomiče gore za q, −f(x) zrcali oko osi x, f(−x) oko osi y; redoslijed je važan.
Riješeni primjer
Odredimo domenu, tjeme i sliku funkcije f(x) = x^2 − 6x + 5. Domena je R jer je funkcija polinom. Tjeme: x = −b/(2a) = 6/2 = 3, a y = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Budući da je a = 1 > 0, parabola je otvorena prema gore pa je tjeme minimum. Slika je [−4, ∞). Nultočke rješavamo kao x^2 − 6x + 5 = 0; diskriminanta je 36 − 20 = 16, pa su rješenja (6 ± 4)/2, to jest x = 1 i x = 5. Graf siječe os x u 1 i 5, a os y u 5.
Zamke
Kod logaritma se zaboravlja da argument mora biti strogo pozitivan; kod eksponencijalne funkcije slika nikad ne uključuje nulu. Kod transformacija se često zamijeni smjer pomaka: f(x − 3) pomiče desno, a ne lijevo. Racionalna funkcija nije definirana u nultočkama nazivnika, pa se te vrijednosti ne smiju pojaviti u domeni ni u rješenju jednadžbe. Kod kvadratne funkcije provjerite traži li se tjeme, nultočke ili slika - to su različiti pojmovi.