Geometrija i trigonometrija
Geometrija i trigonometrija: što se ispituje
Domena spaja planimetriju, stereometriju i trigonometriju. Ispit traži računanje duljina, kutova, površina i volumena, primjenu Pitagorina poučka, sličnosti, sinusnog i kosinusnog poučka te trigonometrijskih identiteta. U zadacima s tijelima često treba prepoznati pravi kut u presjeku ili visinu koja nije brid.
Planimetrija i stereometrija
- Površina trokuta: P = (a · v_a)/2, a za trokut sa stranicama a, b, c i poluopsegom s vrijedi Heronova formula P = √(s(s − a)(s − b)(s − c)).
- Slični trokuti imaju razmjer stranica k; površine se odnose kao k^2, a volumeni sličnih tijela kao k^3.
- Volumen piramide je V = (B · h)/3, stošca V = (π r^2 h)/3, valjka V = π r^2 h, kugle V = (4/3)π r^3.
- Oplošje valjka je O = 2πr(r + h), stošca O = πr(r + s), gdje je s izvodnica; za kuglu O = 4πr^2.
Trigonometrija
- U pravokutnom trokutu: sin α = nasuprotna/hipotenuza, cos α = priležeća/hipotenuza, tan α = nasuprotna/priležeća.
- Sinusni poučak: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Kosinusni poučak: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ.
- Osnovni identitet: sin^2 α + cos^2 α = 1; tan α = sin α/cos α, uz cos α ≠ 0.
- Adicijske formule: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
- Kružnica: kut u središtu dvostruk je obodnom kutu nad istim lukom.
Riješeni primjer
U trokutu su a = 7, b = 8 i kut γ = 60°. Odredimo stranicu c. Kosinusni poučak daje c^2 = 7^2 + 8^2 − 2 · 7 · 8 · cos 60°. Budući da je cos 60° = 1/2, slijedi c^2 = 49 + 64 − 56 = 57, pa je c = √57 ≈ 7,55. Ako bi se tražila površina, upotrijebili bismo P = (1/2)ab sin γ = (1/2) · 7 · 8 · (√3/2) = 14√3.
Zamke
Kutovi moraju biti u istoj mjeri; kalkulator postavljen na radijane daje pogrešan rezultat za stupnjeve. Kod sinusnog poučka moguć je dvoznačan slučaj (SSA) pa treba provjeriti oba rješenja. Kod oplošja stošca ne smije se zamijeniti visina h s izvodnicom s; vrijedi s^2 = r^2 + h^2. Kod volumena piramide i stošca dijeli se s 3, što se često zaboravlja.