Nizovi i redovi
Nizovi i redovi: što se ispituje
Domena provjerava aritmetički i geometrijski niz, opći član, rekurzivni zapis, sume konačnih nizova te konvergenciju beskonačnog geometrijskog reda. Na ispitu Matematika A zadaci često zahtijevaju prepoznavanje tipa niza iz zadanih članova ili iz tekstualnog opisa, a zatim točnu primjenu formule.
Aritmetički niz
- Opći član: a_n = a_1 + (n − 1)d, gdje je d razlika susjednih članova.
- Suma prvih n članova: S_n = (n/2)(a_1 + a_n) = (n/2)(2a_1 + (n − 1)d).
- Aritmetička sredina triju uzastopnih članova jednaka je srednjem članu.
Geometrijski niz
- Opći član: a_n = a_1 · q^(n−1), gdje je q kvocijent, q ≠ 0.
- Suma prvih n članova: S_n = a_1(1 − q^n)/(1 − q) za q ≠ 1; za q = 1 vrijedi S_n = n a_1.
- Beskonačni geometrijski red konvergira samo za |q| < 1 i tada je S = a_1/(1 − q).
- Geometrijska sredina triju uzastopnih pozitivnih članova je srednji član.
Riješeni primjer
U aritmetičkom nizu je a_3 = 11 i a_8 = 31. Odredimo a_1, d i sumu prvih 20 članova. Iz općeg člana: a_3 = a_1 + 2d = 11 i a_8 = a_1 + 7d = 31. Oduzimanjem jednadžbi dobijemo 5d = 20, pa je d = 4. Tada je a_1 = 11 − 8 = 3. Suma: S_20 = (20/2)(2 · 3 + 19 · 4) = 10(6 + 76) = 820.
Zamke
Najčešća pogreška je zamjena n i n − 1 u općem članu geometrijskog niza. Kod aritmetičkog niza treba razlikovati d od a_1; d se dobije iz razlike dvaju članova, ali tek nakon što se uzme u obzir njihov indeks. Beskonačni geometrijski red ne smije se zbrajati formulom S = a_1/(1 − q) ako nije ispunjen uvjet |q| < 1. Kod tekstualnih zadataka provjerite počinje li niz prvim članom ili nultim te traži li se suma do uključivo n-tog člana.