Analitička geometrija
Analitička geometrija: što se ispituje
Domena obuhvaća pravac i kružnicu u koordinatnom sustavu, stošce (parabolu, elipsu i hiperbolu) te vektore u ravnini. Ispit traži povezivanje jednadžbe i geometrijskog objekta: određivanje središta i polumjera, nagiba i okomitosti, sjecišta, udaljenosti te linearnih kombinacija vektora.
Pravac i kružnica
- Pravac kroz točke (x_1, y_1) i (x_2, y_2): nagib k = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1), zatim y − y_1 = k(x − x_1).
- Opći oblik pravca: Ax + By + C = 0; vektor normale je (A, B), a smjer (−B, A).
- Udaljenost točke (x_0, y_0) od pravca Ax + By + C = 0: d = |Ax_0 + By_0 + C|/√(A^2 + B^2).
- Kružnica sa središtem (p, q) i polumjerom r: (x − p)^2 + (y − q)^2 = r^2. Iz općeg oblika x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 središte se dobije dopunjavanjem do kvadrata.
Stošci i vektori
- Parabola y^2 = 2px ima tjeme u ishodištu i otvara se udesno; parabola x^2 = 2py otvara se prema gore.
- Elipsa x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ima dulju poluos a i kraću b; hiperbola x^2/a^2 − y^2/b^2 = 1 ima asimptote y = ±(b/a)x.
- Vektor od A do B je B − A. Zbrajanje, oduzimanje i množenje skalarom rade se po komponentama.
- Skalarni produkt: a · b = a_1b_1 + a_2b_2 = |a||b| cos φ. Vektori su okomiti ako je skalarni produkt 0; kolinearni ako je determinanta komponenti 0.
Riješeni primjer
Zadana je kružnica x^2 + y^2 − 6x + 4y − 12 = 0. Dopunimo do kvadrata: (x^2 − 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4, dakle (x − 3)^2 + (y + 2)^2 = 25. Središte je S(3, −2), polumjer r = 5. Udaljenost središta od pravca x = 0 je 3, pa pravac x = 0 siječe kružnicu u dvije točke jer je 3 < 5.
Zamke
Kod dopunjavanja do kvadrata najčešće se pogriješi predznak središta: iz (x − 3)^2 slijedi p = 3, a iz (y + 2)^2 slijedi q = −2. Kod udaljenosti točke od pravca obavezna je apsolutna vrijednost. Kod stožaca treba provjeriti koja je os glavna i je li jednadžba u standardnom obliku. Vektori se ne smiju poistovjećivati s točkama: vektor ima smjer i duljinu, a točka samo koordinate.