Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnost i statistika: što se ispituje
Domena spaja kombinatoriku, klasičnu i uvjetnu vjerojatnost te opisnu statistiku. Na ispitu Matematika A traži se prebrojavanje mogućnosti, primjena formule za vjerojatnost, računanje srednjih vrijednosti i mjera raspršenja te čitanje podataka iz tablice ili grafa.
Kombinatorika
- Permutacije od n elemenata: n!; permutacije s ponavljanjem: n!/(n_1! n_2! ... n_k!).
- Varijacije bez ponavljanja: V(n, k) = n(n − 1)...(n − k + 1) = n!/(n − k)!.
- Kombinacije bez ponavljanja: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!); vrijedi C(n, k) = C(n, n − k).
- Načelo umnoška: ako se izbor sastoji od uzastopnih neovisnih koraka, broj mogućnosti je umnožak brojeva mogućnosti po koracima. Načelo zbroja vrijedi za međusobno isključive slučajeve.
Vjerojatnost i statistika
- Klasična vjerojatnost: P(A) = broj povoljnih ishoda / broj svih jednako vjerojatnih ishoda.
- Komplement: P(A') = 1 − P(A). Za događaje A i B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- Uvjetna vjerojatnost: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), uz P(B) > 0; neovisni događaji zadovoljavaju P(A ∩ B) = P(A)P(B).
- Aritmetička sredina je zbroj vrijednosti podijeljen brojem podataka; medijan je srednji podatak u uređenom nizu, a mod najčešća vrijednost.
- Varijanca je prosječno kvadrato odstupanje od sredine, a standardna devijacija je njezin drugi korijen.
Riješeni primjer
U kutiji su 4 crvene i 6 plavih kuglica. Izvlače se dvije kuglice bez vraćanja. Vjerojatnost da su obje crvene iznosi (4/10) · (3/9) = 12/90 = 2/15. Ako se prva kuglica vraća, izvlačenja su neovisna pa je vjerojatnost (4/10) · (4/10) = 16/100 = 4/25. Razlika pokazuje zašto bez vraćanja treba koristiti uvjetnu vjerojatnost.
Zamke
Kod kombinacija se često zaboravi da redoslijed nije važan; ako jest važan, radi se o varijacijama ili permutacijama. Kod izvlačenja bez vraćanja nazivnik se smanjuje u drugom koraku. Medijan se traži samo u uređenom nizu, a kod parnog broja podataka uzima se prosjek dvaju srednjih. Varijanca se ne smije računati kao prosjek apsolutnih odstupanja.