Limesi, derivacije i integrali
Limesi, derivacije i integrali: što se ispituje
Domena obuhvaća limese, derivacije i njihove primjene te uvodno integriranje. Na ispitu Matematika A traži se računanje limesa, deriviranje složenih funkcija, određivanje tangente, monotonije i ekstrema te računanje određenog integrala i površine između krivulja.
Limesi i derivacije
- Limes zbroja, umnoška i kvocijenta jednak je odgovarajućoj kombinaciji limesa ako svi limesi postoje i nazivnik nije nula.
- Derivacija je granica kvocijenta prirasta: f'(x) = lim(h→0) (f(x + h) − f(x))/h.
- Pravila: (x^n)' = n x^(n−1), (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x.
- Umnožak: (uv)' = u'v + uv'. Kvocijent: (u/v)' = (u'v − uv')/v^2. Složena funkcija: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).
Primjene i integral
- Tangenta u točki x_0: y − f(x_0) = f'(x_0)(x − x_0).
- Ako je f' > 0 na intervalu, funkcija raste; ako je f' < 0, pada. Lokalni ekstrem može nastati u stacionarnoj točki f' = 0 ili u točki gdje derivacija ne postoji.
- Za određivanje vrste ekstrema upotrebljava se predznak derivacije oko stacionarne točke ili druga derivacija.
- Neodređeni integral: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C za n ≠ −1; ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- Određeni integral računa se Newton-Leibnizovom formulom: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), gdje je F bilo koja primitivna funkcija od f.
Riješeni primjer
Odredimo tangentu na graf f(x) = x^3 − 2x u točki x = 1. Najprije f(1) = 1 − 2 = −1. Derivacija je f'(x) = 3x^2 − 2, pa je f'(1) = 3 − 2 = 1. Tangenta: y − (−1) = 1(x − 1), odnosno y = x − 2. Funkcija u blizini x = 1 raste jer je f'(1) > 0.
Zamke
Kod složene funkcije najčešće se zaboravi unutarnja derivacija. Kod kvocijenta se zamijeni redoslijed članova u brojniku. Lokalni ekstrem ne mora biti globalni; na zatvorenom intervalu treba provjeriti i rubne točke. Kod određenog integrala površina ispod osi x dobiva negativan predznak, pa se za geometrijsku površinu uzima apsolutna vrijednost ili se integral dijeli na dijelove. Kod neodređenog integrala ne smije se zaboraviti konstanta C.