Pendule simple : corriger l'amplitude ou écarter les données ?
Lors de l'épreuve écrite de physique du concours voie CPGE, un candidat doit déterminer g à l'aide d'un pendule simple de longueur L = 1,00 m. Il dispose d'un chronomètre manuel et d'un rapporteur. Le sujet précise que la formule T = 2π√(L/g) n'est valable qu'aux petites amplitudes, mais ne donne pas le terme correctif. Le candidat a réalisé deux séries de mesures : à θ0 = 5°, il obtient T = 2,006 ± 0,004 s ; à θ0 = 30°, il obtient T = 2,040 ± 0,005 s. Chaque incertitude est un écart-type sur huit mesures. La valeur de référence est g = 9,81 m/s². Le candidat envisage trois options : ne garder que les mesures à 5°, appliquer une correction théorique aux mesures à 30°, ou traiter l'écart comme une erreur systématique du chronométrage. Le correcteur attend un raisonnement quantitatif et une conclusion nuancée sur la validité du modèle.
1. Proposer une stratégie d'estimation de g et calculer les valeurs obtenues avec les deux premières options.
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Calcul avec les mesures à 5°. La formule des petites oscillations donne g = 4π²L/T². Avec L = 1,00 m et T = 2,006 s, T² = 4,024036, donc g = 39,4784/4,024036 ≈ 9,81 m/s². L'incertitude relative sur T est 0,004/2,006 ≈ 0,2 %, donc sur g ≈ 0,4 %, soit ±0,04 m/s².
Correction à 30°. Le premier terme correctif est T ≈ T0(1 + θ0²/16). Avec θ0 = 30° = 0,5236 rad, θ0²/16 = 0,2742/16 = 0,01714. Donc T0 = 2,040/1,01714 ≈ 2,0056 s, et g ≈ 39,4784/(2,0056)² ≈ 9,81 m/s². Les deux séries, correctement traitées, sont compatibles.
Stratégie. Il ne faut pas jeter les mesures à 30° sans justification : elles testent précisément la limite du modèle. On peut les utiliser après correction, ou les présenter comme vérification du terme d'amplitude. L'option « erreur systématique du chronométrage » est peu plausible : un temps de réaction constant ajouterait environ 0,2 s à chaque période, ce qui affecterait aussi les mesures à 5°, et non proportionnellement à θ0².
2. Le candidat écrit : « L'écart entre 5° et 30° est 8 fois plus grand que l'incertitude, donc il y a une erreur systématique. » Critiquer cette phrase et proposer une expérience qui distingue erreur instrumentale et effet physique.
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La phrase confond effet physique prévisible et erreur systématique. Un écart de 0,034 s sur 2,006 s vaut 1,7 %, très proche de θ0²/16 = 1,7 % : c'est la signature du terme d'amplitude, pas d'un biais instrumental. De plus, une erreur systématique de chronométrage serait approximativement additive et indépendante de l'amplitude.
Pour distinguer les deux, le candidat peut :
- faire varier θ0 de 5° à 45° par pas de 5° et tracer T en fonction de θ0² ; une droite de pente T0/16 confirme l'effet physique ;
- remplacer le chronomètre manuel par une barrière optique ou un capteur, ce qui réduit le temps de réaction ;
- répéter les mesures dans un ordre aléatoire pour éviter une dérive instrumentale ;
- vérifier que le résidu après correction ne dépend plus de θ0.
Ainsi, l'écart n'est pas une « erreur » au sens de faute de mesure : c'est un écart au modèle des petites oscillations.
3. Rédiger une conclusion de quatre à cinq lignes pour le jury, en indiquant la valeur de g et la portée du modèle.
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Conclusion possible. « Les mesures à faible amplitude donnent g = 9,81 ± 0,04 m/s². À 30°, l'écart de période est compatible avec le terme correctif θ0²/16 ; après correction, on obtient g ≈ 9,81 m/s². La formule T = 2π√(L/g) n'est donc pas invalidée : elle est une approximation dont le domaine de validité doit être explicité. L'utilisation des deux séries, après correction, est préférable à leur exclusion mutuelle. »