Régate de cinq jours : résoudre, repérer la contrainte inutile, auditer un calendrier
Le club nautique de Port-Léon organise une régate de cinq jours, du lundi au vendredi. Chaque jour, un skipper différent court sur un support différent. Cinq skippers sont engagés : Ana, Ben, Cléo, Dan et Elsa. Cinq supports sont disponibles : Laser, Optimist, Finn, RS et Vaurien, chacun utilisé une seule fois. Le règlement sportif impose : (1) Ana court le mardi ; (2) Ben court exactement deux jours après Cléo ; (3) Dan court avant Elsa ; (4) Elsa ne court pas le vendredi ; (5) Cléo ne court pas le lundi. Le responsable du matériel ajoute : (6) le Finn est utilisé la veille du jour où court Cléo ; (7) Elsa court sur le Vaurien ; (8) le RS est utilisé exactement deux jours après l'Optimist ; (9) le Laser est utilisé après le Finn. La secrétaire affirme qu'il existe plusieurs calendriers compatibles et veut publier une version provisoire ; le président exige au contraire une solution unique avant l'affichage.
1. Déterminez le calendrier complet (skipper et support pour chaque jour) en explicitant l'ordre du raisonnement.
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Étape 1 - Placer les skippers
- (1) Ana = mardi.
- (5) Cléo ≠ lundi, et mardi est pris : Cléo ∈ {mercredi, jeudi}.
- (2) Ben = Cléo + 2 jours. Si Cléo = jeudi, Ben = samedi : impossible. Donc Cléo = mercredi et Ben = vendredi.
- Restent lundi et jeudi pour Dan et Elsa ; (3) Dan avant Elsa impose Dan = lundi et Elsa = jeudi. La contrainte (4) est vérifiée, mais elle n'a servi à rien.
Étape 2 - Placer les supports
- (6) Finn la veille de Cléo (mercredi) → Finn = mardi.
- (7) Elsa (jeudi) sur le Vaurien → Vaurien = jeudi.
- Restent lundi, mercredi, vendredi pour Laser, Optimist et RS.
- (8) RS = Optimist + 2 jours. Deux possibilités seulement : Optimist lundi / RS mercredi, ou Optimist mercredi / RS vendredi.
- (9) le Laser est utilisé après le Finn (mardi). Dans la seconde possibilité, le Laser tomberait lundi : exclu. Donc Optimist = lundi, RS = mercredi, Laser = vendredi.
Calendrier unique
| Jour | Skipper | Support |
|---|---|---|
| Lundi | Dan | Optimist |
| Mardi | Ana | Finn |
| Mercredi | Cléo | RS |
| Jeudi | Elsa | Vaurien |
| Vendredi | Ben | Laser |
La secrétaire a tort : les neuf contraintes déterminent une solution et une seule.
2. Le président veut alléger le règlement. Identifiez la ou les contraintes réellement superflues et démontrez-le (attention : une contrainte apparemment décorative peut être indispensable).
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Méthode : une contrainte est superflue si, en la retirant, l'ensemble des autres contraintes admet encore la même solution unique.
Contrainte (4) « Elsa ne court pas le vendredi » : superflue
Elle n'intervient jamais dans le raisonnement. Le vendredi est attribué à Ben par la seule combinaison de (1), (2) et (5) : Ana occupe mardi, Cléo ne peut être que mercredi ou jeudi, et jeudi est exclu parce que Ben courrait samedi. Elsa se retrouve jeudi par élimination, donc (4) est vraie mais dérivée. On peut la supprimer sans rien changer.
Contrainte (9) « le Laser après le Finn » : indispensable
Elle paraît accessoire, elle ne l'est pas. Sans elle, deux affectations de supports restent possibles :
- Optimist lundi, RS mercredi, Laser vendredi ;
- Optimist mercredi, RS vendredi, Laser lundi.
La seconde respecte (6), (7) et (8) mais place le Laser avant le Finn. C'est (9) qui la disqualifie : elle porte à elle seule l'unicité de la solution.
Contraintes (6), (7), (8) : indispensables
Sans (6), le Finn peut occuper trois jours ; sans (7), le Vaurien n'est plus fixé au jeudi ; sans (8), RS et Optimist deviennent interchangeables sur les jours restants.
Réponse au président : retirer (4) allège le règlement sans coût ; retirer (9) ferait tomber l'unicité. Le tri doit se faire par vérification, non par intuition.
3. La secrétaire propose : lundi Dan/Laser, mardi Ana/Finn, mercredi Cléo/RS, jeudi Elsa/Vaurien, vendredi Ben/Optimist. Recensez les violations et dites si une seule correction suffit.
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Vérification skipper par skipper
Le placement des skippers est exactement le bon : Ana mardi, Cléo mercredi, Ben vendredi, Dan lundi, Elsa jeudi. Aucune violation sur (1), (2), (3) ou (5).
Vérification support par support
- Finn mardi : conforme à (6).
- Vaurien jeudi avec Elsa : conforme à (7).
- Laser lundi : viole (9), puisque le Laser doit venir après le Finn (mardi).
- RS mercredi et Optimist vendredi : viole (8), car deux jours après vendredi n'existe pas dans la semaine, et le RS de mercredi devrait suivre un Optimist de lundi.
Deux violations, mais un même défaut : le couple Optimist/Laser a été inversé.
Correction minimale
Échanger Laser et Optimist : lundi Dan/Optimist, vendredi Ben/Laser, mercredi Cléo/RS inchangé. On vérifie : Optimist lundi → RS mercredi (+2 jours, conforme) ; Laser vendredi, après le Finn de mardi (conforme). Toutes les contraintes sont satisfaites et le calendrier rejoint la solution unique.
Conclusion : une seule permutation de deux supports suffit. La secrétaire doit être alertée sur le fait que l'erreur ne se voit pas en lisant les jours un par un - le Laser du lundi et l'Optimist du vendredi ne sont fautifs que l'un par rapport à l'autre - mais seulement en testant les contraintes relationnelles.