Mathématiques
L'épreuve de mathématiques du concours MSI porte sur le programme de terminale scientifique : analyse (limites, continuité, dérivation, intégration, suites), nombres complexes, géométrie du plan et de l'espace, probabilités conditionnelles. Les questions s'enchaînent souvent : une étude de fonction sert ensuite à encadrer une intégrale ou à discuter une équation paramétrée.
Les outils à maîtriser
- Théorème des valeurs intermédiaires : continuité sur [a,b], puis stricte monotonie pour l'unicité de la racine.
- Dérivée et sens de variation : le signe de f' prime toujours sur le calcul de f.
- Intégration par parties : ∫u'v = [uv] − ∫uv', avec choix stratégique de u.
- Complexes : module, argument, forme exponentielle, interprétation géométrique.
- Probabilités : arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance.
Exemple rédigé
Soit f(x) = ln(x)/x sur ]0 ; +∞[. En 0+, ln x → −∞ et 1/x → +∞, donc f(x) → −∞. En +∞, la croissance comparée donne f(x) → 0. f'(x) = (1 − ln x)/x², du signe de 1 − ln x : f croît jusqu'à x = e, où f(e) = 1/e, puis décroît. Sur [1 ; e], f est continue et strictement croissante de 0 à 1/e, donc l'équation f(x) = 1/4 admet une unique solution. Calculons enfin ∫₁^e ln x dx = [x ln x − x]₁^e = (e − e) − (0 − 1) = 1.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier le domaine de définition avant de dériver ou de composer.
- Écrire ln(x²) = 2 ln x sans valeur absolue : c'est faux pour x < 0.
- Conclure à l'unicité d'une racine avec le seul TVI, sans monotonie.
- Laisser la calculatrice en degrés sur des limites trigonométriques.