Ütközés a légpárnás sínen – mit bizonyít a mérés?
Egy gimnáziumi kísérleti beszámolóban két, légpárnás sínen mozgó kiskocsi ütközésének elemzése szerepel. Az A jelű kocsi tömege 0,30 kg, a B jelűé 0,50 kg, utóbbi kezdetben nyugszik. A kocsikra mágneses ütközőt szereltek, ezért az ütközés csaknem rugalmasnak tekinthető. A sebességeket kapukkal mérték. A jegyzőkönyv szerint az A kocsi az ütközés előtt 0,60 m/s-mal haladt jobbra, az ütközés után 0,12 m/s-mal balra, a B kocsi pedig az ütközés után 0,44 m/s-mal mozdult el jobbra. A két kocsi 0,15 s-ig érintkezett, a sín enyhén súrlódik. A tanuló a méréstől azt várta, hogy igazolja a mechanikai energiamegmaradást, és a jegyzőkönyv végére ezt írta: „az energia megmaradt, a kísérlet sikeres volt”. Hibaszámítást nem végzett, a sebességeket egy-egy leolvasásból, plusz-mínusz 0,02 m/s pontossággal rögzítette. A jegyzőkönyvhöz a mérési elrendezés vázlata nem készült el, csak a fenti adatok állnak rendelkezésre.
1. Számítsd ki az ütközés előtti és utáni összimpulzust, és döntsd el, hogy a megadott mérési pontosságot figyelembe véve teljesül-e az impulzusmegmaradás!
Read the worked answer
Vegyük a jobbra mutató irányt pozitívnak.
Ütközés előtt: csak az A kocsi mozog, tehát p_előtte = 0,30 kg · 0,60 m/s = 0,180 kg·m/s.
Ütközés után: az A kocsi balra mozog, ezért a sebessége negatív: p_utána = 0,30 · (−0,12) + 0,50 · 0,44 = −0,036 + 0,220 = 0,184 kg·m/s.
A különbség |Δp| = 0,004 kg·m/s, ami 2,2 %-os eltérés.
Hibabecslés: a legkedvezőtlenebb esetben a hiba Δp ≈ (0,30 + 0,30 + 0,50) · 0,02 = 0,022 kg·m/s. A mért 0,004 kg·m/s ennél ötször kisebb, tehát az impulzus a mérési pontosságon belül megmarad.
Tipushiba, amit érdemes elkerülni: ha valaki elfelejti az A kocsi sebességének negatív előjelét, 0,036 + 0,220 = 0,256 kg·m/s-ot kap, és tévesen az impulzusmegmaradás sérülését jelenti ki. Az előjelválasztás (a visszapattanás ténye) itt dönti el a kérdést, nem a számolás.
2. Számítsd ki a mozgási energia megváltozását, és bíráld meg a tanuló azon kijelentését, hogy a kísérlet igazolta az energiamegmaradást!
Read the worked answer
Ütközés előtt: E = ½ · 0,30 · 0,60² = 0,054 J.
Ütközés után: E = ½ · 0,30 · 0,12² + ½ · 0,50 · 0,44² = 0,00216 + 0,0484 = 0,0506 J.
A veszteség 0,0034 J, azaz 6,4 %.
Ellenőrzés elméleti határesetben: ha az ütközés tökéletesen rugalmas lenne, v_A' = (m_A − m_B)/(m_A + m_B) · v = (0,30 − 0,50)/0,80 · 0,60 = −0,15 m/s, v_B' = 2m_A/(m_A + m_B) · v = 0,60/0,80 · 0,60 = +0,45 m/s, amiből E = 0,054 J adódik, vagyis az elméleti rugalmas eset valóban energia-megmaradást mutatna. A mért értékektől ez az impulzus szempontjából alig (0,03 m/s), energiában viszont érzékelhetően eltér.
Értékelés: a mechanikai energia nem maradt meg, 6 %-kal csökkent, ami kissé rugalmatlan ütközésre utal. Ez nem mond ellent az energiamegmaradásnak: a hiányzó rész hővé, hanggá és az ütköző rugalmas deformációjának energiájává alakult. A tanuló állítása tehát hibás, mert a mechanikai energiát vizsgálta, nem a teljes energiát. Figyelmeztető jel: ha a mechanikai energia növekedett volna, az szisztematikus mérési hibát (pl. rossz tömegadatot vagy leolvasási hibát) jelezne, mert az fizikailag lehetetlen.
3. Az ütközés 0,15 s-ig tartott. Becsüld meg a kocsik közötti átlagos erőt, majd indokold, miért tekinthető az impulzus a súrlódás ellenére is jó közelítéssel megmaradónak!
Read the worked answer
Belső erő becslése: a B kocsi lendülete 0-ról 0,220 kg·m/s-ra változott, tehát F = Δp/Δt = 0,220 / 0,15 ≈ 1,5 N átlagos erő hatott rá (az A kocsira hasonló nagyságú, ellentétes irányú).
Külső erők becslése: az összimpulzus csak 0,004 kg·m/s-mal változott, tehát a külső erők (súrlódás, légellenállás) eredő impulzusa legfeljebb ennyi, azaz átlagosan F_külső ≈ 0,004 / 0,15 ≈ 0,03 N.
Arány: a belső erő mintegy ötvenszer nagyobb a külsőnél.
Általános elv: az impulzusmegmaradás akkor érvényes jó közelítéssel, ha a külső erők impulzusa elhanyagolható a belső (ütközési) erők impulzusához képest. Ez két okból teljesül: egyrészt a súrlódási erő önmagában kicsi, másrészt csak rövid ideig (0,15 s) hat. Ha az érintkezés elhúzódna, vagy a súrlódás nagyobb lenne (pl. érdes asztalon csúszó kocsik), a külső impulzus már összemérhetővé válna, és a számolt és mért összimpulzus eltérése meghaladná a mérési hibát.