Termoszban olvadó jég – elolvad-e minden?
Egy kiránduláson egy 1,5 literes, jól hőszigetelő termoszba 0,50 kg, 20 °C-os vizet töltenek, majd hozzáadnak 100 g, mínusz 10 °C-os jeget, és a sapkát azonnal lezárják. A számoláshoz a következő adatokat adják meg: a víz fajhője 4,18 kJ/(kg·°C), a jég fajhője 2,09 kJ/(kg·°C), a jég olvadáshője 334 kJ/kg, a víz forráshője 2260 kJ/kg. A termosz hőkapacitását és a környezet felé irányuló hőáramot egyelőre elhanyagoljuk. A diák magabiztosan kijelenti: „a jég biztosan teljesen elolvad, mert a víz sokkal több hőt tud leadni, mint amennyi a jég felmelegítéséhez kell”. A tanár szerint viszont a hőmérséklet nemcsak a jegek mennyiségétől, hanem az olvadás hőigényétől is függ. A kísérlet után felmerül a kérdés, mi lett volna, ha kétszer annyi, 200 g jeget tesznek a vízbe. A termoszban a nyomás a külsővel azonos, a rendszer zárt.
1. Határozd meg, hogy a 100 g jég teljesen elolvad-e, és ha igen, számítsd ki a közös hőmérsékletet!
Read the worked answer
Hőmérleg elve: a víz által leadott hőt a jég felmelegítése és megolvasztása fogyasztja; a maradék a teljes víztömeg melegítésére jut.
- A víz 20 °C-ról 0 °C-ra hűlése: Q₁ = 0,50 · 4,18 · 20 = 41,8 kJ.
- A jég −10 °C-ról 0 °C-ra melegítése: Q₂ = 0,10 · 2,09 · 10 = 2,09 kJ.
- A jég megolvasztása: Q₃ = 0,10 · 334 = 33,4 kJ.
A jég felmelegítéséhez és megolvasztásához összesen 2,09 + 33,4 = 35,5 kJ kell, ami kevesebb, mint a víz által leadható 41,8 kJ. Tehát a jég teljesen elolvad, és marad 41,8 − 35,5 = 6,3 kJ a 0,60 kg össztömegű víz melegítésére: ΔT = 6,3 / (0,60 · 4,18) ≈ 2,5 °C.
A közös hőmérséklet tehát mintegy 2,5 °C.
Ellenőrzés: a hőmérséklet 0 és 20 °C közé esik, és a jég nem tudja 0 °C alá hűteni a vizet, mert ehhez a víznek fagyást kellett volna elszenvednie – ez összhangban van az eredménnyel. A diák következtetése helyes, de az indoklása („több hőt tud leadni”) önmagában nem elég: a számolás mutatja meg, hogy valóban elég-e.
2. Számítsd ki a végső állapotot abban az esetre, ha 200 g, mínusz 10 °C-os jeget tesznek a vízbe!
Read the worked answer
A jég felmelegítése 0 °C-ra: Q₂ = 0,20 · 2,09 · 10 = 4,18 kJ. A teljes megolvasztás: Q₃ = 0,20 · 334 = 66,8 kJ. Összesen 71,0 kJ kellene, de a víz 20 °C-ról 0 °C-ra hűlve csak 41,8 kJ-t ad le.
Mivel 41,8 kJ < 71,0 kJ, nem olvad el az összes jég, és a végállapot hőmérséklete 0 °C (a jég és a víz keveréke). A hőmérséklet nem csökkenhet 0 °C alá, mert a víz fagyásához hőt kellene elvonni, arra viszont nincs hőforrás – éppen ellenkezőleg, a jég olvadása hőt von el.
A 0 °C-ra melegítés után marad 41,8 − 4,18 = 37,6 kJ az olvasztásra: m_olvadt = 37,6 / 334 ≈ 0,113 kg, azaz mintegy 113 g jég olvad meg. Marad 200 − 113 = mintegy 87 g jég, 0 °C-on, 0,6 kg vízzel egyensúlyban.
Tanulság: ugyanaz a vízmennyiség kétszer annyi jég esetén már nem elég a teljes olvadáshoz; a hőmérleg nem „érzés”, hanem a latens hő és az érzékelhető hő összehasonlítása alapján dönthető el.
3. A valóságban a mért hőmérséklet 1–2 °C-kal eltérhet az ideálistól. Adj meg legalább három okot, és becsüld meg, melyik mekkora hatású!
Read the worked answer
1. A termosz hőkapacitása (elhanyagoltuk). Ha a belső edény hőkapacitása kb. 0,15 kJ/°C, akkor az 20 °C-ról 2,5 °C-ra hűlve mintegy 0,15 · 17,5 ≈ 2,6 kJ hőt ad át, ami a 0,60 kg vizet ΔT = 2,6/(0,60·4,18) ≈ 1,0 °C-kal melegebbre hozza. Ez önmagában magyarázza a különbség nagy részét.
2. Hőáram a környezetből. A termosz nem tökéletes: a hőszigetelésen át a szobahőmérsékletű levegő felől hő jut be. Ha a bejutó teljesítmény néhány watt, 10 perc alatt 1–2 kJ, ami kb. 0,5 °C melegedést okoz.
3. A jég valós hőmérséklete. A fagyasztóból kivett jég általában −18 °C, nem −10 °C; 100 g esetén ez további 0,10 · 2,09 · 8 ≈ 1,7 kJ hőigény, ami mintegy 0,7 °C-kal alacsonyabb véghőmérsékletet eredményez. Ha a jég felülete vizes (olvadás közben), a víz tömegét és hőmérsékletét is át kell számolni.
4. Nem teljes keveredés. A jég gyakran a felszínen úszik, a hideg olvadékvíz alul marad; a hőmérő a helyi hőmérsékletet méri, nem az átlagot, ezért akár 0,5–1 °C eltérés is lehet.
Összegzés: a legnagyobb, rendszeres eltérést a termosz hőkapacitása okozza, ezt érdemes először korrigálni; a többi hiba részben kiolthatja egymást, ezért a nyers eredmény 1–2 °C-os szórása reális.