Hangsebesség-mérés rezonanciacsővel – véghatás és hibák
Egy iskolai laborban állóhullámokkal határozzák meg a hangsebességet levegőben. Egy függőleges üvegcső alján víz van, a vízszint egy csapon keresztül állítható, a cső teteje nyitott. A cső fölé 440 Hz-es hangvillát tartanak, és a vízszintet lassan süllyesztik. Két egymást követő hangosodást figyelnek meg: az elsőt akkor, amikor a cső felső pereme és a vízszint között 18,5 cm levegő van, a másodikat akkor, amikor ez a távolság 57,5 cm. A teremben a hőmérséklet 22 °C. A hangvilla felirata szerint a frekvencia 440 Hz, de a tanár szerint a régi villát érdemes lenne hitelesíteni, mert a felirat lehet pontatlan. A cső belső átmérője néhány centiméter. A hangsebességre a levegőben jó közelítéssel v = (331 + 0,6 · t/°C) m/s érvényes, ahol t a Celsius-fokban mért hőmérséklet. A mérést ugyanazzal a vízszint-beállítással, de fűtött teremben is megismétlik.
1. Számítsd ki a mért hangsebességet, és hasonlítsd össze a hőmérséklet alapján várható értékkel!
Read the worked answer
Rezonanciafeltétel: a nyitott végű, alul zárt csőben a vízszint a csomópont, a felső nyílás közelében duzzadás van. A rezonanciák hossza: L = λ/4 + e, majd L = 3λ/4 + e (e a véghatás). A két egymást követő rezonancia különbsége ezért λ/2, függetlenül a véghatástól: λ/2 = 57,5 − 18,5 = 39,0 cm → λ = 0,780 m.
Hangsebesség: v = f · λ = 440 · 0,780 = 343,2 m/s.
Várható érték 22 °C-on: v = 331 + 0,6 · 22 = 344,2 m/s.
Összevetés: az eltérés 1,0 m/s, azaz 0,3 %, ami kiváló egyezés. A mérés tehát konzisztens a hőmérsékleti modellel, és a cső hosszadatai is hihetőek.
Ellenőrzés másik irányból: 22 °C-on a hullámhossz λ = v/f = 344,2/440 = 0,782 m, azaz λ/2 = 39,1 cm, ami a mért 39,0 cm-rel gyakorlatilag azonos. Ez a becslés megerősíti, hogy nem számolási hibáról van szó.
2. Határozd meg a nyitott vég véghatását, és következtess a cső átmérőjére!
Read the worked answer
A negyedhullám-hossz elméleti értéke: λ/4 = 0,780/4 = 0,195 m = 19,5 cm.
A mért első rezonanciahely ennél rövidebb: L₁ = 18,5 cm. A különbség a véghatás: e = 19,5 − 18,5 = 1,0 cm.
Értelmezés: a nyitott végnél a duzzadás nem pontosan a perem síkjában van, hanem valamivel kijjebb, a csövön kívül. Ezért a rezgő levegőoszlop effektív hossza nagyobb a mért hossznál, és a rezonancia valamivel rövidebb csőnél következik be, mint a λ/4 elméleti érték.
Következtetés az átmérőre: hengeres csőre jó közelítéssel e ≈ 0,6 · r. Ebből r ≈ e/0,6 = 1,0/0,6 ≈ 1,7 cm, azaz az átmérő mintegy 3,4 cm. Ez összhangban van a feladatban szereplő „néhány centiméter” adattal, ami önellenőrzésként szolgál.
Miért nem kell a véghatást a sebességszámításnál használni? Mert két egymást követő rezonancia különbségében a véghatás kiesik – ez a mérés egyik legfontosabb előnye. Ha csak egyetlen rezonanciahelyet mérnénk, a véghatás ismerete nélkül akár 5 %-os hibát is ejthetnénk.
3. A vízszint-leolvasásnál 1 cm-es hibát vétenek. Hogyan hat ez a sebességre, ha csak az egyik, illetve ha mindkét rezonanciahelyet hibásan olvassák el? Mekkora hiba származik abból, ha a hangvilla valójában 435 Hz?
Read the worked answer
Csak az egyik helyet olvassák el 1 cm-rel hibásan: ekkor λ/2 = 39,0 ± 1,0 cm, tehát λ = 0,780 ± 0,020 m. A relatív hiba 0,020/0,780 ≈ 2,6 %, ami a sebességben 343 · 0,026 ≈ 9 m/s eltérést jelent (334 m/s vagy 352 m/s). Ez már messze meghaladja a hőmérsékleti modell hibáját, és hamis következtetésre vezetne.
Ha mindkét helyet ugyanannyival olvassák el hibásan: a különbség változatlan (39,0 cm), ezért a sebességre gyakorolt hatás nulla. Ez mutatja, hogy a különbségi módszer a rendszeres, azonos irányú hibákra érzéketlen – ezért érdemes mindig két rezonanciát használni.
Hibás frekvencia (435 Hz a felirat helyett): v = f · λ = 435 · 0,780 = 339,3 m/s, ami a helyes értéknél 1,1 %-kal, azaz mintegy 4 m/s-mal kisebb. Mivel a sebesség egyenesen arányos a frekvenciával, a frekvenciahiba közvetlenül és arányosan jelenik meg az eredményben – kalibrálatlan hangvillával tehát nem lehet 1 %-nál jobb pontosságot elérni.
Hőmérsékleti érzékenység kiegészítésként: 10 °C változás a levegő hőmérsékletében 0,6 · 10 = 6 m/s, azaz 1,7 % változást okoz a hangsebességben. A fűtött termi ismétlésnél tehát számítani kell néhány m/s-os eltolódásra akkor is, ha a hosszmérés hibátlan.