A régi cézium-preparátum – címke, aktivitás és statisztika
Egy középiskola raktárában előkerül egy lezárt, fémtokos cézium-137-es preparátum. A tok oldalán lévő címke szerint az aktivitás 1975-ben 370 kBq volt. A preparátumot 2025-ben vizsgálják. A sugárvédelmi szabályzat szerint a 100 kBq-nél nagyobb aktivitású forrásokat nyilvántartásba kell venni, és ólomtokban kell tárolni. A tanár GM-csővel mér: a háttér 50 beütés/perc, a forrással együtt 1250 beütés/perc, egyetlen 10 perces mérés során. A diákok szeretnék egy hét alatt megmérni a felezési időt, hogy ellenőrizzék a tankönyvi 30,2 éves értéket. A cézium-137 béta-bomlással bárium-137m-re alakul, amely 2,55 perc felezési idővel, gamma-kibocsátás közben tovább bomlik. A preparátum kémiailag tiszta céziumot tartalmaz, a bárium-daughter már régóta egyensúlyban van vele.
1. Számítsd ki az aktivitást 2025-ben, és döntsd el, hogy a forrást nyilvántartásba kell-e venni!
Read the worked answer
Eltelt idő: 2025 − 1975 = 50 év.
Bomlási tényező: A = A₀ · (1/2)^(t/T½) = 370 · (1/2)^(50/30,2).
A kitevő: 50/30,2 = 1,656. (1/2)^1,656 ≈ 0,317.
Aktivitás 2025-ben: A ≈ 370 · 0,317 ≈ 117 kBq.
Döntés: 117 kBq > 100 kBq, tehát a forrást nyilvántartásba kell venni, és ólomtokban kell tárolni. A határértékhez való közelség miatt érdemes a számítást dokumentálni is, mert néhány év múlva az aktivitás a küszöb alá csökken: a 100 kBq-t 370 · (1/2)^(t/30,2) = 100 egyenletből t ≈ 30,2 · log₂(3,7) ≈ 30,2 · 1,89 ≈ 57 év, azaz 1975-től számítva mintegy 2032 körül éri el.
Fogalmi tisztázás: a címkén szereplő aktivitás mindig a hitelesítés (gyártás) napjára vonatkozik, nem a megtalálás napjára. A felezési idő ismeretében a bomlási törvény lineáris (exponenciális) skálán számolható, és az eredmény a kezdeti érték bizonytalanságával arányos hibát hordoz.
2. Egy hét alatt megmérhető-e a felezési idő a rendelkezésre álló mérési adatokkal? Számolj a statisztikus hibával is!
Read the worked answer
Várható aktivitásváltozás egy hét alatt: 7 nap = 7/365,25 ≈ 0,01916 év. A kitevő: 0,01916/30,2 ≈ 6,3 · 10⁻⁴. A változás: 1 − (1/2)^0,00063 ≈ 0,044 %.
Mérési statisztika: a nettó beütésszám 1250 − 50 = 1200/perc, 10 perc alatt 12 000 nettó beütés, a teljes (bruttó) beütés 12 500, a háttér 500. A statisztikus szórás: σ_bruttó = √12500 ≈ 112, σ_háttér = √500 ≈ 22, σ_nettó ≈ √(112² + 22²) ≈ 114. A relatív szórás: 114/12000 ≈ 0,95 %.
Összevetés: a várható 0,044 %-os változás hússzor kisebb, mint a statisztikus zaj 0,95 %-a. Egy hét alatt a felezési idő nem mérhető meg, a jel a zajban teljesen eltűnik. Érdemi kimutatáshoz a relatív szórást 0,01 % alá kellene vinni, ami a √N törvény miatt körülbelül 10⁸ beütést igényelne – ez a jelenlegi 1200/perc mellett több ezer óra mérés lenne.
Következtetés: hosszú felezési idő esetén a direkt módszer nem járható. Ilyenkor vagy aktivitás-etalonra van szükség, vagy a bomlási termék (bárium-137m) mennyiségének változását, illetve a leányelem arányát kell mérni. A statisztikai hiba nem elkerülhető „gondosabb munkával”, ez a radioaktív bomlás véletlen jellegéből fakad.
3. Miért követi a mért gamma-beütésszám mégis a 30,2 éves felezési időt, holott a gamma-sugárzást kibocsátó bárium-137m felezési ideje csak 2,55 perc?
Read the worked answer
A bomlási lánc: Cs-137 (T½ = 30,2 év, béta-bomlás) → Ba-137m (T½ = 2,55 perc, gamma-kibocsátás) → Ba-137 (stabil).
A mért gamma-sugárzás tehát nem a céziumból, hanem a bárium-137m-ből származik. A preparátum azonban 1975 óta zárt, a bárium folyamatosan keletkezik és bomlik.
Tranziens egyensúly: mivel a leány felezési ideje (2,55 perc) sokkal rövidebb, mint az anyáé (30,2 év), néhány perc alatt beáll az az állapot, amelyben a leány aktivitása gyakorlatilag megegyezik az anyáéval (pontosabban A_leány = A_anya · λ_leány/(λ_leány − λ_anya) ≈ A_anya, mert λ_leány ≫ λ_anya). Az egyensúly kialakulásához körülbelül 5 · 2,55 ≈ 13 perc kell, ami a 50 évhez képest elhanyagolható.
Következmény: a gamma-beütésszám arányos a jelen lévő Cs-137 mennyiségével, ezért időben a 30,2 éves felezési időt követi, nem a 2,55 percet.
Gondolatkísérlet: ha a céziumot kémiailag elválasztanák a báriumtól (frissen preparált, „tejmentesített” forrás), a gamma-sugárzás kezdetben gyakorlatilag nulla lenne, majd 2,55 perces felezési idő szerint növekedne, és mintegy 15–20 perc alatt érné el az egyensúlyi értéket. Ezért a gamma-spektroszkópos mérés mindig megköveteli a minta előtörténetének ismeretét.