Gravitáció és csillagászat: gravitációs mező, égi mechanika, kozmológia
A gravitáció és csillagászat rész a Newton-féle gravitációs törvényt, a gravitációs mezőt, a keringési mozgásokat, Kepler törvényeit és a kozmológia alapjait tárgyalja. Az érettségin gyakori a műholdsebesség, a felszíni nehézségi gyorsulás és a Hubble-törvény értelmezése.
Alapok
- Newton: F = GMm/r²; a felszíni nehézségi gyorsulás g = GM/R².
- Körpályán a gravitáció adja a centripetális erőt: GMm/r² = mv²/r, innen v = √(GM/r); a keringési idő T = 2πr/v.
- Kepler III: T²/r³ = állandó ugyanazon központi test körül.
- Szökési sebesség: v = √(2GM/R); kozmológiában v = H0d, a vöröseltolódás távolságra utal.
Mintapélda
Mekkora a keringési sebessége egy műholdnak a Föld felszínétől számított egy Föld-sugárnyi magasságban? Ekkor r = 2R. A felszínen g = GM/R², ezért GM = gR². v = √(GM/(2R)) = √(gR/2). Behelyettesítve g = 9,81 m/s², R = 6,37·10⁶ m: v = √(9,81·6,37·10⁶/2) ≈ 5,6·10³ m/s, azaz kb. 5,6 km/s. Ellenőrzés: alacsony Föld körüli pályán r ≈ R, v ≈ 7,9 km/s; nagyobb sugáron a sebesség kisebb, összhangban a v ∝ 1/√r összefüggéssel.
Csapdák
- A magasságot a Föld sugarához kell adni; r nem azonos a felszín feletti magassággal.
- A gravitációs erő és a nehézségi gyorsulás nem ugyanaz: g erő/tömeg, nem erő.
- Kepler III-ban a T és r ugyanarra a központi égitestre vonatkozik.
- A Hubble-törvényben a H0 mértékegysége 1/s, a távolságot méterben vagy Mpc-ben kell következetesen használni.