Seleksi Delegasi Debat: Enam Kursi, Tiga Fakultas
Panitia Kompetisi Debat Antaruniversitas menerima sembilan pendaftar dari tiga fakultas: Teknik (4 orang), Ekonomi (3 orang), dan Hukum (2 orang). Kuota delegasi hanya enam orang. Panitia menetapkan aturan berikut. (1) Setiap fakultas harus terwakili paling sedikit satu orang. (2) Jumlah peserta dari Teknik tidak boleh melebihi gabungan peserta dari Ekonomi dan Hukum. (3) Delegasi harus memuat paling sedikit dua orang dari Teknik. (4) Rani (Teknik) dan Bimo (Hukum) tidak boleh berangkat bersama karena jadwal latihan mereka bentrok.
Ketua panitia berargumen, 'Karena kuota hanya enam dan semua fakultas wajib terwakili, kita bebas memilih komposisi apa pun; yang penting jumlahnya enam.' Anggota lain merasa kebebasan itu tidak nyata, tetapi belum bisa menunjukkan alasannya. Panitia juga berambisi memaksimalkan jumlah peserta dari Teknik tanpa melanggar aturan mana pun.
1. Tentukan semua komposisi (Teknik, Ekonomi, Hukum) yang memenuhi aturan (1)–(3), dan tunjukkan mengapa komposisi lain gugur.
Read the worked answer
Terjemahkan aturan menjadi batasan aljabar. Misalkan T, E, H adalah jumlah peserta dari Teknik, Ekonomi, dan Hukum.
- Kuota: T + E + H = 6.
- Batas pendaftar: T ≤ 4, E ≤ 3, H ≤ 2.
- Aturan (1): T ≥ 1, E ≥ 1, H ≥ 1.
- Aturan (3): T ≥ 2.
- Aturan (2): T ≤ E + H. Karena E + H = 6 − T, maka T ≤ 6 − T, sehingga 2T ≤ 6 dan T ≤ 3.
Jadi T hanya mungkin 2 atau 3.
- T = 2 → E + H = 4 dengan E ≤ 3 dan H ≤ 2: (E, H) = (2, 2) atau (3, 1).
- T = 3 → E + H = 3 dengan E ≥ 1 dan H ≥ 1: (E, H) = (1, 2) atau (2, 1).
Empat komposisi sah: (2, 2, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Uji komposisi yang gugur: (4, 1, 1) memenuhi kuota dan keterwakilan fakultas, tetapi melanggar aturan (2) karena 4 > 1 + 1. (1, 3, 2) memenuhi aturan (2) karena 1 ≤ 3 + 2, tetapi melanggar aturan (3) karena hanya satu orang Teknik. Inilah gunanya menuliskan batasan secara eksplisit: dua komposisi yang sekilas 'wajar' ternyata tidak sah.
2. Nilai klaim ketua panitia bahwa panitia 'bebas memilih komposisi apa pun asalkan jumlahnya enam'. Di mana tepatnya kekeliruannya?
Read the worked answer
Klaim itu keliru karena mencampur dua hal: memenuhi kuota dan memenuhi seluruh aturan. Kuota enam hanyalah satu persamaan; aturan (2) dan (3) menambah batas yang saling mengunci.
Bukti paling langsung: komposisi (4, 1, 1) berjumlah enam dan menyertakan ketiga fakultas, tetapi tidak sah. Jadi jumlah enam jelas tidak cukup untuk menjamin keabsahan.
Kekeliruannya bersifat struktural: ketua memperlakukan aturan keterwakilan fakultas sebagai satu-satunya syarat tambahan, padahal ada syarat kuantitatif lain. Akibatnya ia menyimpulkan 'bebas' dari premis yang hanya mendukung 'ada banyak pilihan'.
Yang benar: ruang pilihan memang ada, tetapi sempit dan terbatas pada empat komposisi tadi. Pernyataan yang akurat adalah 'kita punya beberapa komposisi yang sah, dan harus memilih di antaranya', bukan 'kita bebas memilih apa pun'.
3. Panitia ingin memaksimalkan jumlah peserta dari Teknik. Komposisi apa yang tersedia, dan bagaimana aturan (4) membatasi pilihan konkretnya?
Read the worked answer
Maksimalkan T dengan batas T ≤ 3 dari aturan (2). Jadi T = 3, yang menyisakan dua komposisi: (3, 1, 2) dan (3, 2, 1).
Sekarang terapkan aturan (4). Ada empat pendaftar Teknik, sehingga dengan T = 3 satu orang Teknik harus dicoret.
- Pada (3, 1, 2): hanya satu orang Hukum yang berangkat. Karena Hukum hanya punya dua pendaftar dan Bimo salah satunya, panitia masih bisa memilih pendaftar Hukum yang bukan Bimo. Dengan begitu Bimo tidak berangkat dan Rani boleh ikut. Pilihan ini secara teknis mungkin, tetapi bergantung pada kesediaan mengorbankan Bimo.
- Pada (3, 2, 1): kedua pendaftar Hukum berangkat, jadi Bimo pasti ikut. Aturan (4) lalu memaksa Rani dikeluarkan, dan karena Teknik harus mengirim tepat tiga dari empat pendaftar, ketiga sisanya otomatis terpilih.
Kesimpulan: memaksimalkan Teknik tidak otomatis mengorbankan Rani, tetapi menciptakan trade-off eksplisit antara Rani dan Bimo. Panitia tidak bisa memaksimalkan Teknik sekaligus mempertahankan keduanya.