Optimasi Menu Kantin Kampus dengan Dua Kendala dan Porsi Bulat
Dua mahasiswa menjalankan stan makan siang dengan dua menu. Paket A (nasi ayam) dijual Rp18.000 dengan biaya bahan Rp9.000, sehingga untung Rp9.000 per porsi; paket B (nasi telur) dijual Rp12.000 dengan biaya bahan Rp5.000, sehingga untung Rp7.000 per porsi. Setiap hari mereka memiliki anggaran bahan Rp900.000 dan total waktu persiapan 480 menit. Satu porsi A memerlukan 6 menit dan satu porsi B memerlukan 4 menit. Berdasarkan pengamatan pasar, permintaan maksimum adalah 50 porsi A dan 70 porsi B per hari; kelebihan produksi tidak akan terjual dan harus dihitung sebagai kerugian bahan. Porsi harus bilangan bulat karena dijual utuh. Keduanya ingin memaksimalkan keuntungan harian, tetapi selama ini mereka berdebat dengan argumen yang berbeda: satu ingin memaksimalkan jumlah porsi, satu lagi ingin memproduksi menu B sebanyak mungkin karena untungnya per menit lebih tinggi.
1. Tentukan kombinasi porsi A dan B yang memaksimalkan keuntungan harian. Tunjukkan langkah penyelesaianmu dan periksa porsi bulatnya.
Read the worked answer
Misalkan x = porsi A dan y = porsi B. Fungsi sasaran: untung = 9.000x + 7.000y (dalam ribuan: 9x + 7y). Kendala: bahan 9x + 5y tidak lebih dari 900; waktu 6x + 4y tidak lebih dari 480, atau 3x + 2y tidak lebih dari 240; x tidak lebih dari 50; y tidak lebih dari 70. Titik sudut yang relevan: (0,0); (50,0) untung 450; (0,70) untung 490; (50,45) dari kendala waktu, untung 450 + 315 = 765; dan titik potong kendala waktu dengan y = 70, yaitu 3x + 140 = 240 sehingga x = 33,33 dengan untung 300 + 490 = 790. Nilai 790 adalah maksimum kontinu, tetapi porsi harus bulat: x = 33 memberi waktu 99 + 140 = 239 menit dan untung 297 + 490 = 787 ribu; x = 34 memberi waktu 242 menit sehingga tidak layak. Bandingkan kandidat bulat lain: (50,45) = 765 dan (32,70) = 778. Jadi optimum adalah 33 porsi A dan 70 porsi B dengan keuntungan Rp787.000. Perhatikan bahwa anggaran bahan hanya terpakai 297.000 + 350.000 = Rp647.000, jadi kendala yang mengikat adalah waktu, bukan uang.
2. Jika pemasok membatasi B maksimal 50 porsi, apakah aturan 'produksi B sebanyak mungkin' masih tepat? Hitung ulang.
Read the worked answer
Dengan y tidak lebih dari 50, optimum kontinu ada di y = 50 dan x = (240 - 100)/3 = 46,67, dengan untung 9(46,67) + 350 = 770 ribu. Namun porsi harus bulat, sehingga perlu memeriksa sekitar titik itu, tidak cukup membulatkan ke bawah. x = 46, y = 50: waktu 138 + 100 = 238 menit, untung 414 + 350 = 764. x = 47 tidak layak karena 141 + 100 = 241 menit. Kandidat lain di sepanjang kendala waktu: x = 48, y = 48 memberi 144 + 96 = 240 menit dan untung 432 + 336 = 768; x = 47, y = 49 memberi 239 menit dan untung 766; x = 50, y = 45 memberi 240 menit dan untung 765. Jadi maksimumnya adalah 48 porsi A dan 48 porsi B dengan Rp768.000. Aturan 'B sebanyak mungkin' menghasilkan 764 ribu, lebih rendah 4 ribu. Alasannya, keuntungan B per menit memang lebih tinggi (1.750 berbanding 1.500), tetapi setelah pembulatan sisa waktu tidak dapat diisi penuh oleh A, sehingga komposisi yang lebih seimbang menang.
3. Manajemen stan memutuskan selalu memproduksi tepat 50 porsi A setiap hari demi menjaga reputasi menu. Berapa keuntungan yang hilang dibandingkan jadwal optimal pada soal pertama?
Read the worked answer
Dengan x = 50, sisa waktu adalah 240 - 150 = 90 menit untuk B, sehingga y = 45 porsi, dan anggaran bahan 450 + 225 = Rp675.000 masih di bawah batas. Keuntungannya 450 + 315 = Rp765.000. Jadwal optimal pada soal pertama menghasilkan Rp787.000 dengan 33 porsi A dan 70 porsi B. Selisihnya Rp22.000 per hari, atau sekitar Rp660.000 untuk 30 hari operasi. Angka ini bukan sekadar aritmetika: ia menunjukkan bahwa batas produksi A yang dipaksakan lebih mahal daripada tambahan keuntungan dari A, karena A memakai 6 menit per porsi sementara B hanya 4 menit dan selisih untung per porsinya tidak sebanding. Keputusan menjaga reputasi tetap boleh diambil, tetapi biayanya harus dinyatakan secara eksplisit, bukan disembunyikan sebagai pilihan yang sama untungnya.