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Si sommano gli esponenti al numeratore: 2^(3-5) = 2^-2. Poi si sottrae l'esponente del denominatore: 2^(-2-(-4)) = 2^2 = 4. Il risultato è quindi l'intero positivo 4.
Il logaritmo decimale di una potenza di dieci è l'esponente a cui elevare 10 per ottenere l'argomento. Poiché 0,001 = 10^-3, si ha log10(0,001) = -3. Il logaritmo di un numero compreso tra 0 e 1 è sempre negativo.
Quaranta minuti corrispondono a 2/3 di ora. La velocità media è spazio diviso tempo: 480 / (2/3) = 480 · 3/2 = 720 km/h. Convertire i minuti in ore prima di dividere è il passaggio chiave.
La radice quadrata è definita quando il radicando è non negativo: 5 - 2x ≥ 0. Risolvendo la disequazione si ottiene 2x ≤ 5, cioè x ≤ 5/2. Il dominio è quindi l'intervallo chiuso a sinistra (-∞, 5/2].
Per il teorema di Pitagora il cateto incognito è sqrt(15^2 - 9^2) = sqrt(225 - 81) = sqrt(144) = 12. La terna 9-12-15 è proporzionale alla terna pitagorica 3-4-5.
La parola ha 3 lettere con la A ripetuta due volte. Le permutazioni distinte sono 3! / 2! = 6/2 = 3, ossia AAL, ALA, LAA. Dividere per il fattoriale delle ripetizioni evita di contare più volte gli stessi anagrammi.
In una progressione aritmetica la ragione è la differenza tra due termini consecutivi: a_(n+1) - a_n = 3(n+1) - 2 - (3n - 2) = 3. Il termine -2 è il valore del primo termine, non la ragione.
Dagli angoli notevoli si ha sen(30°) = 1/2 e cos(60°) = 1/2. La loro somma vale quindi 1. I due valori coincidono perché 30° e 60° sono angoli complementari.
Per una matrice 2x2 il determinante è il prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi dell'altra diagonale: 3·2 - 4·1 = 6 - 4 = 2. L'ordine della sottrazione è essenziale per il segno.
Sommando membro a membro le due equazioni si elimina y: 3x = 9, da cui x = 3. Sostituendo nella seconda equazione si ricava y = 1. Il metodo di riduzione è qui il più rapido.
Si cercano due numeri con somma 5 e prodotto 6: sono 2 e 3. Infatti (x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6. In alternativa il discriminante vale 25 - 24 = 1 e le radici sono (5 ± 1)/2.
Il numeratore si scompone come (x - 2)(x + 2), quindi la frazione si semplifica in x + 2 per x diverso da 2. Il limite è allora 2 + 2 = 4. La forma 0/0 iniziale è una indeterminazione risolta per scomposizione.
I casi favorevoli sono le coppie (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), cioè 6 su 36 esiti equiprobabili. La probabilità è 6/36 = 1/6. Contare le coppie ordinate è necessario perché i due lanci sono distinti.
Si applica la regola del prodotto: derivata di x^3 per ln(x) più x^3 per la derivata di ln(x). Si ottiene 3x^2·ln(x) + x^3·(1/x) = 3x^2·ln(x) + x^2. Il secondo addendo si semplifica perché x^3/x = x^2.
Una primitiva di 3x^2 è x^3. Valutandola agli estremi si ottiene 1^3 - 0^3 = 1. Il risultato è l'area sottesa dalla curva tra 0 e 1.
Il coefficiente angolare è (8 - 2)/(3 - 1) = 6/2 = 3. Imponendo il passaggio per (1, 2): 2 = 3·1 + q, da cui q = -1. L'equazione è quindi y = 3x - 1.
La ragione è 4 e il ventesimo termine è 3 + 19·4 = 79. La somma dei primi n termini è n(a_1 + a_n)/2 = 20·(3 + 79)/2 = 20·82/2 = 820.
Una funzione è dispari se f(-x) = -f(x) per ogni x del dominio. Per f(x) = x^3 + x si ha f(-x) = -x^3 - x = -f(x), quindi è dispari. Le altre candidate sono pari o, nel caso del valore assoluto, pari.
L'interesse composto moltiplica il capitale per (1 + r) a ogni anno, quindi dopo n anni si ha C·(1 + r)^n. Con C = 2000, r = 0,05 e n = 3 l'espressione è 2000·1,05^3. L'esponente riflette la capitalizzazione annuale degli interessi.
Ponendo t = x^2 si ottiene t^2 - 5t + 4 = 0, con soluzioni t = 1 e t = 4. Da t = 1 si ricava x = ±1, da t = 4 si ricava x = ±2: quattro soluzioni reali distinte. Entrambi i valori di t sono positivi, quindi ogni radice quadrata è reale.
Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado 2. In questo caso il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi: 3/1 = 3. Dividendo tutti i termini per x^2 i termini con potenze inferiori tendono a zero.
La derivata è f'(x) = 3x^2 - 3, che si annulla in x = ±1. La derivata seconda f''(x) = 6x è negativa in x = -1, quindi lì c'è un massimo locale; in x = 1 si ha un minimo. Il punto x = 0 è un flesso.
La probabilità che la prima sia bianca è 4/10 = 2/5; dopo l'estrazione restano 3 bianche su 9 palline, quindi 3/9 = 1/3. Moltiplicando: (2/5)·(1/3) = 2/15. L'assenza di reimmissione modifica la seconda probabilità.
La funzione g(x) = ln(x) - x + 2 ha dominio x > 0 e derivata 1/x - 1, nulla in x = 1. In x = 1 si ha g(1) = 1 > 0, che è il massimo; agli estremi del dominio g tende a -infinito. Poiché il massimo è positivo, le radici sono due, una in (0,1) e una in (1,+∞).
Completando i quadrati: (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 0, cioè (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13. Il centro è quindi (2, -3) e il raggio è sqrt(13). I termini noti dei quadrati vanno trasportati al secondo membro.
Due rette non verticali sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari vale -1. Il coefficiente della retta data è 2/3, quindi serve m = -3/2. Solo la retta y = -(3/2)x + 4 ha questo coefficiente angolare.
L'area di un triangolo con due lati e l'angolo compreso si calcola con la formula A = (1/2)·a·b·sen(γ). Sostituendo si ottiene (1/2)·6·8·sen(60°) = 24·(√3/2) = 12√3.
Per la proprietà del quoziente dei logaritmi, log₂(48) - log₂(3) = log₂(48/3) = log₂(16). Poiché 16 = 2⁴, il valore è 4.
Con il teorema binomiale il termine che contiene x² si ottiene scegliendo due fattori 2x e due fattori -1. Il coefficiente binomiale è C(4,2)=6 e il prodotto dà 6·(2x)²·(-1)² = 24x². Quindi il coefficiente è 24.
La radice quadrata richiede argomento non negativo, quindi x + 3 ≥ 0, cioè x ≥ -3. Il denominatore deve essere diverso da zero, quindi x ≠ 1. Le due condizioni vanno imposte contemporaneamente.
Se n ≡ 5 (mod 7), allora n² ≡ 25 (mod 7). Poiché 25 = 3·7 + 4, il resto della divisione di n² per 7 è 4.
La relazione f(x + 2) = f(x) dice che la funzione è periodica di periodo 2. Poiché 5 = 1 + 2·2, si ha f(5) = f(1) = 7.
Il limite notevole lim_{x→0} (sen x)/x vale 1, perché vicino a zero sen x è asintoticamente equivalente a x. Il valore non dipende dal fatto che la funzione in 0 non sia definita.
La derivata f'(x) = 2x vale 6 in x = 3, quindi il coefficiente angolare della tangente è 6. Il punto di tangenza è (3, 9) e la retta è y - 9 = 6(x - 3), cioè y = 6x - 9.
Una primitiva di 1/x per x > 0 è ln x. Applicando il teorema fondamentale del calcolo si ottiene ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.
L'equazione diventa x³ - 3x² = 0, cioè x²(x - 3) = 0. Le soluzioni sono x = 0 (doppia) e x = 3, quindi le soluzioni reali distinte sono due.
I casi possibili sono C(8,2) = 28. I casi favorevoli sono due rosse, C(5,2) = 10, oppure due blu, C(3,2) = 3, per un totale di 13. La probabilità è quindi 13/28.
Le componenti si ottengono moltiplicando il modulo per il coseno e per il seno dell'angolo. Si ha 5·cos(60°) = 5/2 e 5·sen(60°) = 5√3/2, quindi il vettore è (5/2, 5√3/2).
I multipli di 3 fino a 100 sono 3, 6, ..., 99, cioè 33 termini in progressione aritmetica di ragione 3. La somma è (3 + 99)·33/2 = 102·16,5 = 1683.
Moltiplicando una matrice di ordine n per uno scalare k, il determinante viene moltiplicato per kⁿ. Qui n = 3 e k = 3, quindi det(3A) = 3³·det(A) = 27·2 = 54.
Nel punto più alto la velocità si annulla, quindi si usa v² = v₀² − 2gh con v = 0, ottenendo h = v₀²/(2g). Sostituendo i valori: h = 400/20 = 20 m. L'altezza non dipende dalla massa dell'oggetto.
Con velocità iniziale nulla la legge oraria è s = ½at². Sostituendo a = 2 m/s² e t = 5 s si ottiene s = ½·2·25 = 25 m. La velocità finale sarebbe 10 m/s, ma non serve per il calcolo dello spazio.
Il newton è l'unità di misura della forza e corrisponde a kg·m/s². La massa si misura in chilogrammi, la pressione in pascal e l'energia in joule. La distinzione tra massa e forza-peso è fondamentale in meccanica.
Per il secondo principio della dinamica F = ma, quindi a = F/m. Sostituendo si ha a = 12/4 = 3 m/s². Il piano liscio garantisce che non ci siano attriti da sottrarre alla forza risultante.
L'energia potenziale gravitazionale è U = mgh. Sostituendo m = 2 kg, g = 10 m/s² e h = 10 m si ottiene U = 2·10·10 = 200 J. L'energia potenziale dipende dal livello di riferimento scelto.
Occorre prima convertire la velocità: 72 km/h = 72/3,6 = 20 m/s. Con moto uniforme t = s/v = 400/20 = 20 s. La conversione da km/h a m/s è un passaggio chiave per non sbagliare.
La legge di Ohm afferma V = RI. Sostituendo R = 20 Ω e I = 0,5 A si ottiene V = 20·0,5 = 10 V. La corrente e la tensione sono legate linearmente nel caso di un resistore ohmico.
In assenza di resistenza dell'aria l'unica forza è il peso, diretto verticalmente. Pertanto la componente orizzontale della velocità resta costante (moto uniforme) mentre quella verticale subisce l'accelerazione di gravità g (moto uniformemente accelerato). I due moti sono indipendenti e si compongono vettorialmente.
Quando due vettori sono perpendicolari la risultante si calcola con il teorema di Pitagora: R = √(6² + 8²) = √100 = 10 N. La somma algebrica sarebbe valida solo se le forze avessero la stessa direzione e verso.
La forza di attrito statico massima vale f = μ·N, dove N = mg = 50 N sul piano orizzontale. Quindi f = 0,4·50 = 20 N: serve una forza orizzontale appena superiore a questo valore per vincere l'attrito statico.