Tubo a risonanza, end correction e una frequenza più alta
In laboratorio misuri la velocità del suono in aria con un tubo a risonanza e un pistone. A 500 Hz trovi le prime due risonanze a L1 = 16,0 cm e L2 = 49,5 cm; a 1000 Hz a L1 = 8,0 cm e L2 = 25,0 cm. La temperatura è 21 °C, ma vicino alla bocca del tubo sale a 26 °C. Calcoli v = 2f(L2 − L1) e ottieni 335 m/s a 500 Hz e 340 m/s a 1000 Hz. Il valore atteso a 21 °C è 344 m/s. La discrepanza è del 2-3%. Il tuo compagno vuole aumentare la frequenza a 2000 Hz per ridurre l'errore. Devi decidere se la discrepanza è sistematica, se l'end correction è stata trascurata, e come riportare il risultato con l'incertezza.
1. L'end correction può spiegare la differenza tra i due valori? Calcola il valore corretto e discuti.
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No, non può spiegarla se usi la differenza tra due risonanze successive. La condizione di risonanza è L + e = nλ/4, dove e è l'end correction. Tra due risonanze successive, L2 − L1 = λ/2, quindi e si cancella: v = 2f(L2 − L1) è già indipendente da e. L'end correction conterebbe se usassi L1 da solo, perché L1 + e = λ/4 e otterresti v = 4f(L1 + e).
Con i tuoi dati: a 500 Hz, ΔL = 33,5 cm, v = 2 × 500 × 0,335 = 335 m/s; a 1000 Hz, ΔL = 17,0 cm, v = 2 × 1000 × 0,170 = 340 m/s. La differenza tra 335 e 340 non è quindi un effetto di end correction. Se il compagno ha ottenuto 320 m/s usando L1 da solo, quello sì sarebbe un errore da end correction, ma la formula con la differenza è corretta.
2. Valuta se la discrepanza residua è compatibile con l'incertezza e con il gradiente di temperatura.
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Il valore atteso a 21 °C è circa 344 m/s; a 26 °C sarebbe più alto, circa 347 m/s. Il gradiente vicino alla bocca non spiega valori più bassi: semmai alzerebbe la stima. La discrepanza di 335 e 340 rispetto a 344 è quindi verosimilmente strumentale, non termica.
Stima dell'incertezza: se la lettura del pistone ha una precisione di ±0,5 cm, l'incertezza su ΔL è circa ±0,7 cm (due letture indipendenti). Allora δv = 2fδΔL vale circa 7 m/s a 500 Hz e 14 m/s a 1000 Hz. Quindi 335 ± 7 è a circa 1,3σ da 344, e 340 ± 14 è a circa 0,3σ. I due valori sono compatibili tra loro e con il valore atteso entro le incertezze, ma resta un sospetto di offset sistematico nella scala del pistone. Andrebbe verificato con risonanze multiple e con un fit lineare di L contro n.
3. La proposta di usare 2000 Hz è buona? Discuti.
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Non necessariamente. Aumentando la frequenza, la lunghezza d'onda diminuisce e la differenza L2 − L1 diventa più piccola: a 2000 Hz ti aspetti ΔL ≈ 8,5 cm. Un errore di lettura di ±0,5 cm pesa quindi molto di più in relativo, e l'incertezza su v raddoppia rispetto a 1000 Hz. Inoltre le risonanze diventano più larghe e più difficili da localizzare con precisione, e gli effetti di dissipazione e di non idealità del tubo aumentano.
La strada migliore non è alzare la frequenza, ma migliorare la misura: raccogliere molte risonanze a frequenze diverse, riportare L contro n e fare un fit lineare; misurare la temperatura lungo il tubo; calibrare lo zero del pistone; stimare l'end correction da L1 con più frequenze. Se si vuole usare una frequenza più alta, va fatto solo dopo aver ridotto l'errore di lettura, per esempio con un trasduttore o con un micrometro.