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EJU Mathematics Course 1 practice questions

One question at a time. Build your EJU Mathematics Course 1 understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Mathematics (Course 1 syllabus)

実数 x についての不等式 |2x - 5| < 7 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。

  1. -1 < x < 6 Correct answer.
  2. -6 < x < 1
  3. x < -1 または x > 6
  4. 1 < x < 6

Explanation

|A| < B は -B < A < B と同値である。ここでは -7 < 2x - 5 < 7 となり、各辺に5を加えて -2 < 2x < 12、2で割って -1 < x < 6 を得る。絶対値の中身が負の場合も含めてこの変形で一括して扱える点が要点である。

Question 2Mathematics (Course 1 syllabus)

2次関数 y = x² - 4x + 7 の最小値として正しいものを選べ。

  1. 7
  2. 11
  3. 3 Correct answer.
  4. -3

Explanation

平方完成すると y = (x - 2)² + 3 となる。したがって頂点は (2, 3) で、x² の係数が正なので下に凸の放物線となり、x = 2 のとき最小値 3 をとる。頂点のy座標がそのまま最小値になることを確認する。

Question 3Mathematics (Course 1 syllabus)

5枚のカードに 1, 2, 3, 4, 5 の数字が1つずつ書かれている。この中から同時に2枚を取り出すとき、書かれた数の和が偶数になる確率を求めよ。

  1. 3/10
  2. 1/5
  3. 2/5 Correct answer.
  4. 1/2

Explanation

和が偶数になるのは、偶数どうし（2, 4）の組か奇数どうし（1, 3, 5）の組を取り出す場合である。取り出し方の総数は 5C2 = 10 通りで、偶数どうしは1通り、奇数どうしは 3C2 = 3 通りの計4通り。よって確率は 4/10 = 2/5 となる。

Question 4Mathematics (Course 1 syllabus)

sin 30° + cos 60° + tan 45° の値を求めよ。

  1. 1/2
  2. 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 3/2

Explanation

sin 30° = 1/2、cos 60° = 1/2、tan 45° = 1 である。これらを足すと 1/2 + 1/2 + 1 = 2 となる。30°・45°・60° の三角比の値は定義からすぐ導けるよう覚えておきたい。

Question 5Mathematics (Course 1 syllabus)

データ 3, 5, 5, 7, 10 の中央値と最頻値の組として正しいものを選べ。

  1. 中央値5、最頻値5 Correct answer.
  2. 中央値6、最頻値5
  3. 中央値5、最頻値7
  4. 中央値7、最頻値5

Explanation

5個のデータを小さい順に並べると 3, 5, 5, 7, 10 で、中央値は3番目の値である5になる。最頻値は最も多く現れる値で、5が2回現れるので5である。データの個数が奇数のときは中央の1つの値がそのまま中央値となる。

Question 6Mathematics (Course 1 syllabus)

x² - 7x + 12 を因数分解した結果として正しいものを選べ。

  1. (x + 3)(x + 4)
  2. (x - 1)(x - 12)
  3. (x - 2)(x - 6)
  4. (x - 3)(x - 4) Correct answer.

Explanation

積が12、和が-7となる2数を探すと -3 と -4 である。したがって x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) と因数分解できる。定数項が正で1次の係数が負のときは、2数がともに負になる点に注意する。

Question 7Mathematics (Course 1 syllabus)

初項3、公差4の等差数列について、第10項の値を求めよ。

  1. 43
  2. 39 Correct answer.
  3. 36
  4. 40

Explanation

等差数列の一般項は a_n = a_1 + (n - 1)d で与えられる。ここでは a_1 = 3、d = 4、n = 10 なので a_10 = 3 + 9×4 = 39 となる。n - 1 を掛ける点がよくある誤りのもとである。

Question 8Mathematics (Course 1 syllabus)

2次方程式 x² - 2x - 4 = 0 の解として正しいものを選べ。

  1. x = 2 ± √8
  2. x = 1 ± √5 Correct answer.
  3. x = -1 ± √5
  4. x = 1 ± √3

Explanation

解の公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) に a = 1、b = -2、c = -4 を代入する。判別式は (-2)² - 4×1×(-4) = 4 + 16 = 20 なので、x = (2 ± √20)/2 = 1 ± √5 となる。判別式の符号の処理に注意する。

Question 9Mathematics (Course 1 syllabus)

0° ≤ θ ≤ 180° の範囲で、方程式 2sin θ - 1 = 0 を満たす θ をすべて求めよ。

  1. 60° と 120°
  2. 30° のみ
  3. 150° のみ
  4. 30° と 150° Correct answer.

Explanation

方程式を変形すると sin θ = 1/2 となる。0° ≤ θ ≤ 180° で sin θ = 1/2 を満たす角は 30° と 150° の2つである。サインの値が同じになる角が第1象限と第2象限に1つずつ存在することを利用する。

Question 10Mathematics (Course 1 syllabus)

円 x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0 の中心の座標と半径の組として正しいものを選べ。

  1. 中心(3, -2)、半径4 Correct answer.
  2. 中心(-3, 2)、半径4
  3. 中心(3, -2)、半径16
  4. 中心(6, -4)、半径7

Explanation

x と y についてそれぞれ平方完成すると (x - 3)² - 9 + (y + 2)² - 4 - 3 = 0、すなわち (x - 3)² + (y + 2)² = 16 となる。よって中心は (3, -2)、半径は √16 = 4 である。右辺の値は半径の2乗であることに注意する。

Question 11Mathematics (Course 1 syllabus)

(x + 1/x)⁵ を展開したときの x³ の項の係数を求めよ。

  1. 5
  2. 10 Correct answer.
  3. 20
  4. 15

Explanation

二項定理より、x を k 回選ぶ項は 5Ck・x^k・(1/x)^(5-k) = 5Ck・x^(2k-5) となる。x³ になるのは 2k - 5 = 3、すなわち k = 4 のときで、係数は 5C4 = 5 ではなく 5C4 = 5 を計算すると5である。ここで k = 4 と k = 1 の対応を確認すると、指数の計算から係数は 5C4 = 5 ではなく、正しくは 5C4 = 5 となる。

Question 12Mathematics (Course 1 syllabus)

A, B, C, D, E の5人が1列に並ぶとき、A と B が隣り合う並び方の総数を求めよ。

  1. 72通り
  2. 24通り
  3. 120通り
  4. 48通り Correct answer.

Explanation

A と B を1つのまとまりとみなすと、まとまり・C・D・E の4つの並び方が 4! = 24 通りある。それぞれについて A と B の内部の並びが 2! = 2 通りあるので、24 × 2 = 48 通りとなる。隣り合う条件はまとまりとして扱うのが定石である。

Question 13Mathematics (Course 1 syllabus)

放物線 y = x² 上の点 (2, 4) における接線の方程式として正しいものを選べ。

  1. y = 2x
  2. y = 4x + 4
  3. y = 4x - 4 Correct answer.
  4. y = 2x + 4

Explanation

y = x² を微分すると y' = 2x であり、x = 2 における接線の傾きは 4 である。点 (2, 4) を通る傾き4の直線は y - 4 = 4(x - 2)、すなわち y = 4x - 4 となる。微分係数が接線の傾きを与えることを使う。

Question 14Mathematics (Course 1 syllabus)

関数 f(x) = x³ - 3x について、f(x) が極大となる x の値とそのときの極大値を求めよ。

  1. x = 0 で極大値 0
  2. x = 1 で極大値 -2
  3. x = -1 で極大値 2 Correct answer.
  4. x = -1 で極大値 -2

Explanation

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1) であり、f'(x) = 0 となるのは x = ±1 である。増減表を書くと x = -1 の前後で f' が正から負に変わるので極大となり、f(-1) = -1 + 3 = 2 である。導関数の符号の変化で極大・極小を判定する。

Question 15Mathematics (Course 1 syllabus)

3点 A(1, 2), B(4, 6), C(7, 10) について、点 C が直線 AB 上にあるかどうかを調べたい。正しい記述を選べ。

  1. 3点は一直線上にあり、AB の傾きは 4/3、AC の傾きは 8/6 で異なる
  2. 3点は一直線上になく、AB の傾きは 4/3、AC の傾きは 3/4 である
  3. 3点は一直線上になく、AB の傾きは 3/4、AC の傾きは 8/6 である
  4. 3点は一直線上にあり、AB と AC の傾きはともに 4/3 である Correct answer.

Explanation

AB の傾きは (6 - 2)/(4 - 1) = 4/3、AC の傾きは (10 - 2)/(7 - 1) = 8/6 = 4/3 である。2つの傾きが等しく、しかも点 A を共有するので3点は一直線上にある。傾きの比較で共線性を判定できる。

Question 16Mathematics (Course 1 syllabus)

不等式 x² - 5x + 6 < 0 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。

  1. x < -3 または x > -2
  2. -3 < x < -2
  3. 2 < x < 3 Correct answer.
  4. x < 2 または x > 3

Explanation

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) と因数分解でき、放物線は x = 2 と x = 3 で x軸と交わる。x² の係数が正で下に凸なので、式の値が負になるのは2つの解の間、すなわち 2 < x < 3 である。不等号が < のときは内側の範囲になる。

Question 17Mathematics (Course 1 syllabus)

袋の中に赤玉4個と白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を3回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

  1. 2/9
  2. 8/27
  3. 12/27
  4. 4/9 Correct answer.

Explanation

1回の試行で赤玉が出る確率は 4/6 = 2/3 である。3回のうち赤玉がちょうど2回出る確率は 3C2 × (2/3)² × (1/3)¹ = 3 × 4/9 × 1/3 = 4/9 となる。反復試行の公式を使い、どの回で赤が出るかの組合せを掛ける点が要点である。

Question 18Mathematics (Course 1 syllabus)

ベクトル a = (2, -1)、b = (1, 3) について、a + t b が a と垂直になるような実数 t の値を求めよ。

  1. t = 1/5
  2. t = -1/5 Correct answer.
  3. t = -5
  4. t = 5

Explanation

垂直条件は内積が0になることである。(a + t b)・a = |a|² + t(a・b) を計算すると、|a|² = 5、a・b = 2 - 3 = -1 なので 5 - t = 0、すなわち t = 5 ではなく、5 + t(-1) = 0 より t = 5 である。ここで符号を確認すると t = 5 となる。

Question 19Mathematics (Course 1 syllabus)

log₂ 8 + log₃ (1/9) の値を求めよ。

  1. 5
  2. -1
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

log₂ 8 = 3 であり、log₃ (1/9) = log₃ 3⁻² = -2 である。したがって和は 3 + (-2) = 1 となる。真数が分数のときは負の指数に対応することを確認しておきたい。

Question 20Mathematics (Course 1 syllabus)

数列 {a_n} が a_1 = 2、a_(n+1) = 3a_n + 1 で定められている。一般項として正しいものを選べ。

  1. a_n = (3^(n+1) - 1)/2
  2. a_n = 2・3^(n-1) + 1
  3. a_n = (5・3^(n-1) - 1)/2 Correct answer.
  4. a_n = (3^n + 1)/2

Explanation

漸化式を a_(n+1) + c = 3(a_n + c) の形に変形すると、c = 1/2 が得られ、a_n + 1/2 = (a_1 + 1/2)・3^(n-1) = (5/2)・3^(n-1) となる。よって a_n = (5・3^(n-1) - 1)/2 である。n = 1 を代入すると2になり、検算できる。

Question 21Mathematics (Course 1 syllabus)

関数 y = x³ - 6x² + 9x のグラフについて、x 軸と異なる3点で交わるための条件を調べる。極値を用いた記述として正しいものを選べ。

  1. 極大値が正で極小値も正であればよい
  2. 極大値と極小値の積が負であればよい Correct answer.
  3. 極大値と極小値の積が正であればよい
  4. 極大値と極小値の和が0であればよい

Explanation

3次関数が x 軸と異なる3点で交わるのは、極大値と極小値が異符号のときである。すなわち両者の積が負になることが条件となる。この関数では x = 1 で極大値4、x = 3 で極小値0となり、積は0なので接する形になる。

Question 22Mathematics (Course 1 syllabus)

媒介変数表示 x = 2cos θ, y = 3sin θ (0 ≤ θ < 2π) で表される曲線の概形として正しいものを選べ。

  1. 長軸が x 軸方向に長い楕円
  2. 放物線
  3. 長軸が y 軸方向に長い楕円 Correct answer.
  4. 半径3の円

Explanation

cos θ = x/2、sin θ = y/3 として cos²θ + sin²θ = 1 に代入すると x²/4 + y²/9 = 1 となる。これは x 方向の半径が2、y 方向の半径が3の楕円であり、y 軸方向に長い。媒介変数を消去して方程式の形で判断する。

Question 23Mathematics (Course 1 syllabus)

赤玉3個、白玉2個、青玉1個の合計6個を円形に並べるとき、並び方の総数を求めよ。ただし回転して一致する並びは同じものとみなす。

  1. 10通り
  2. 60通り
  3. 120通り
  4. 20通り Correct answer.

Explanation

円順列の総数は (6 - 1)! = 120 通りである。同じ色の玉どうしは区別しないので、赤玉3個の並び替え 3! と白玉2個の並び替え 2! で割る。120 ÷ (3! × 2!) = 120/12 = 10 通りとなる。

Question 24Mathematics (Course 1 syllabus)

a > 0、a ≠ 1 とする。不等式 log_a (x - 1) < log_a (3 - x) が 1 < x < 3 の範囲で解をもつための a の条件を調べる。正しい記述を選べ。

  1. 0 < a < 1 のとき解は 2 < x < 3、a > 1 のとき解は 1 < x < 2 である
  2. a の値によらず解は 2 < x < 3 である
  3. 0 < a < 1 のとき解は 1 < x < 2、a > 1 のとき解は 2 < x < 3 である Correct answer.
  4. a の値によらず解は 1 < x < 2 である

Explanation

真数条件から 1 < x < 3 が必要である。底が 1 より大きいときは真数の大小がそのまま保たれ、x - 1 < 3 - x より x < 2 となる。底が 0 と 1 の間のときは不等号が反転し、x - 1 > 3 - x より x > 2 となる。底の大小で場合分けする点が核心である。

Question 25Mathematics (Course 1 syllabus)

定積分 ∫₀¹ (3x² + 2x) dx の値を求めよ。

  1. 3
  2. 2 Correct answer.
  3. 5/3
  4. 1

Explanation

原始関数は x³ + x² である。x = 1 で 1 + 1 = 2、x = 0 で 0 なので、定積分の値は 2 - 0 = 2 となる。各項をそれぞれ積分してから上限と下限を代入して差をとる。

Question 26Mathematics (Course 1 syllabus)

(a + b)² を展開した式として正しいものを選べ。

  1. a² − 2ab + b²
  2. a² + 2ab + b² Correct answer.
  3. a² + b²
  4. 2a² + 2b²

Explanation

(a + b)² = (a + b)(a + b) を分配法則で展開すると a² + ab + ba + b² となり、ab と ba は等しいので a² + 2ab + b² である。この式は展開公式として基本であり、中央の項 2ab を落とさないことが重要である。

Question 27Mathematics (Course 1 syllabus)

不等式 |x − 3| < 5 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。

  1. −2 < x < 8 Correct answer.
  2. x < −2 または 8 < x
  3. 2 < x < 8
  4. −8 < x < 2

Explanation

絶対値の不等式 |x − c| < r は −r < x − c < r と同値である。ここでは −5 < x − 3 < 5 となり、各辺に 3 を加えて −2 < x < 8 を得る。絶対値が 5 より小さいとは、3 からの距離が 5 未満であることを意味する。

Question 28Mathematics (Course 1 syllabus)

sin 150° の値として正しいものを選べ。

  1. −√3/2
  2. √3/2
  3. 1/2 Correct answer.
  4. −1/2

Explanation

150° = 180° − 30° であるから、sin(180° − θ) = sin θ の公式により sin 150° = sin 30° = 1/2 となる。第2象限の角のサインは正であり、値は 30° のサインと同じである。

Question 29Mathematics (Course 1 syllabus)

2点 A(1, 3)、B(5, 11) を通る直線の傾きとして正しいものを選べ。

  1. 4
  2. 8
  3. 1/2
  4. 2 Correct answer.

Explanation

2点を通る直線の傾きは (y の変化量)/(x の変化量) で求められる。ここでは (11 − 3)/(5 − 1) = 8/4 = 2 である。傾きは x が 1 増えるごとに y がどれだけ増えるかを表す。

Question 30Mathematics (Course 1 syllabus)

集合 A = {1, 2, 3, 4}、B = {3, 4, 5} について、A ∩ B として正しいものを選べ。

  1. {1, 2, 5}
  2. {1, 2, 3, 4, 5}
  3. {1, 2}
  4. {3, 4} Correct answer.

Explanation

共通部分 A ∩ B は、A と B の両方に属する要素をすべて集めた集合である。3 と 4 はどちらにも含まれ、1 と 2 は A のみ、5 は B のみに含まれる。したがって A ∩ B = {3, 4} である。

Question 31Mathematics (Course 1 syllabus)

データ 2, 4, 4, 5, 10 の中央値として正しいものを選べ。

  1. 5
  2. 4 Correct answer.
  3. 10
  4. 4.5

Explanation

5 個のデータを小さい順に並べると 2, 4, 4, 5, 10 であり、中央値はちょうど中央の3番目の値である。したがって中央値は 4 となる。中央値は極端に大きい値 10 の影響を受けにくい代表値である。

Question 32Mathematics (Course 1 syllabus)

円 x² + y² = 25 と直線 y = x + 1 の共有点の個数として正しいものを選べ。

  1. 3個
  2. 1個
  3. 0個
  4. 2個 Correct answer.

Explanation

y = x + 1 を円の式に代入すると x² + (x + 1)² = 25、すなわち 2x² + 2x − 24 = 0 となり、x² + x − 12 = 0 と整理できる。判別式は 1 + 48 = 49 > 0 であるから実数解は2つあり、共有点は2個である。

Question 33Mathematics (Course 1 syllabus)

3辺の長さが 7, 8, 9 である三角形の面積として正しいものを選べ。

  1. 6√5
  2. 12√10
  3. 12√5 Correct answer.
  4. 24√5

Explanation

ヘロンの公式を用いる。s = (7 + 8 + 9)/2 = 12 であり、面積は √(12·5·4·3) = √720 = 12√5 となる。別の方法として 7 と 8 の間の角のコサインを余弦定理で求めても同じ結果になる。

Question 34Mathematics (Course 1 syllabus)

1個のさいころを2回投げるとき、出た目の積が偶数になる確率として正しいものを選べ。

  1. 1/4
  2. 3/4 Correct answer.
  3. 2/3
  4. 1/2

Explanation

積が奇数になるのは2回とも奇数の目が出る場合であり、その確率は (3/6)×(3/6) = 1/4 である。余事象を考えて、積が偶数になる確率は 1 − 1/4 = 3/4 となる。

Question 35Mathematics (Course 1 syllabus)

赤玉3個と白玉2個が入った袋から同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率として正しいものを選べ。

  1. 3/10 Correct answer.
  2. 1/5
  3. 2/5
  4. 3/5

Explanation

5個から2個を取り出す組合せは ₅C₂ = 10 通りである。赤玉3個から2個を取り出す組合せは ₃C₂ = 3 通りなので、確率は 3/10 となる。順列で数えても同じ結果になる。

Question 36Mathematics (Course 1 syllabus)

数列 1, 3, 6, 10, 15, … の第 n 項を表す式として正しいものを選べ。

  1. n²
  2. 2n − 1
  3. n(n − 1)/2
  4. n(n + 1)/2 Correct answer.

Explanation

この数列は階差が 2, 3, 4, 5, … と1ずつ増える数列であり、第 n 項は 1 から n までの自然数の和である。したがって第 n 項は n(n + 1)/2 と表される。n = 4 を代入すると 10 となり、与えられた数列と一致する。

Question 37Mathematics (Course 1 syllabus)

関数 y = −2x² + 8x − 3 の最大値として正しいものを選べ。

  1. −3
  2. 3
  3. 5 Correct answer.
  4. 8

Explanation

平方完成すると y = −2(x − 2)² + 5 となる。x² の係数が負であるからグラフは上に凸であり、頂点 x = 2 で最大値 5 をとる。したがって最大値は 5 である。

Question 38Mathematics (Course 1 syllabus)

点 (1, 2) を通り、直線 2x + y − 5 = 0 に垂直な直線の方程式として正しいものを選べ。

  1. x − 2y + 3 = 0 Correct answer.
  2. 2x − y = 0
  3. 2x + y − 4 = 0
  4. x + 2y − 5 = 0

Explanation

直線 2x + y − 5 = 0 の傾きは −2 であるから、これに垂直な直線の傾きは 1/2 である。点 (1, 2) を通るので y − 2 = (1/2)(x − 1)、整理すると x − 2y + 3 = 0 となる。

Question 39Mathematics (Course 1 syllabus)

cos θ = −1/2 を満たす θ を 0° ≤ θ < 360° の範囲ですべて挙げたものとして正しいものを選べ。

  1. 120°, 240° Correct answer.
  2. 60°, 300°
  3. 60°, 240°
  4. 120°, 300°

Explanation

コサインが負となるのは第2象限と第3象限である。基準角は cos 60° = 1/2 から 60° であり、第2象限で 180° − 60° = 120°、第3象限で 180° + 60° = 240° となる。

Question 40Mathematics (Course 1 syllabus)

(√5 + √2)(√5 − √2) の値として正しいものを選べ。

  1. 3 + 2√10
  2. 7
  3. √3
  4. 3 Correct answer.

Explanation

(a + b)(a − b) = a² − b² の公式を用いると (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3 となる。和と差の積の形であるから、交差項は打ち消し合って現れない。

Question 41Mathematics (Course 1 syllabus)

2次関数 y = x² − 4x + 5 のグラフを x 軸方向に 2、y 軸方向に −1 だけ平行移動したグラフの方程式として正しいものを選べ。

  1. y = x² + 4
  2. y = x² − 8x + 12
  3. y = x² − 4x + 4
  4. y = x² − 8x + 16 Correct answer.

Explanation

x 軸方向に 2、y 軸方向に −1 平行移動するには、x を x − 2、y を y + 1 に置き換える。y + 1 = (x − 2)² − 4(x − 2) + 5 を整理すると y = x² − 8x + 16 となる。

Question 42Mathematics (Course 1 syllabus)

(x − 2)⁶ を展開したときの x⁴ の係数として正しいものを選べ。

  1. 15
  2. 60 Correct answer.
  3. 120
  4. −60

Explanation

二項定理により、(x − 2)⁶ の x⁴ の項は ₆C₂ x⁴ (−2)² である。₆C₂ = 15、(−2)² = 4 であるから係数は 15 × 4 = 60 となる。

Question 43Mathematics (Course 1 syllabus)

3個の数字 1, 2, 3 から重複を許して4桁の整数をつくるとき、つくれる整数の総数として正しいものを選べ。

  1. 24
  2. 81 Correct answer.
  3. 64
  4. 12

Explanation

各桁に 1, 2, 3 のいずれかを自由に選べるので、桁ごとに3通りの選択肢がある。積の法則により 3⁴ = 81 通りの整数がつくれる。重複を許すかどうかが場合の数の計算で重要である。

Question 44Mathematics (Course 1 syllabus)

ベクトル a = (3, −1)、b = (1, 2) について、a と b のなす角を θ とするとき、cos θ の値として正しいものを選べ。

  1. 1/(5√2) Correct answer.
  2. 1/5
  3. −1/(5√2)
  4. 1/√10

Explanation

内積は a·b = 3·1 + (−1)·2 = 1 であり、|a| = √10、|b| = √5 である。cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 1/√50 = 1/(5√2) となる。

Question 45Mathematics (Course 1 syllabus)

不定積分 ∫ (6x² − 4x + 3) dx として正しいものを選べ。

  1. 2x³ − 2x² + 3x + C Correct answer.
  2. 6x³ − 2x² + 3x + C
  3. 2x³ − 4x² + 3x + C
  4. 12x − 4 + C

Explanation

各項を積分すると、6x² は 2x³、−4x は −2x²、3 は 3x となり、積分定数 C を加える。したがって 2x³ − 2x² + 3x + C である。微分して元の式に戻ることを確認できる。

Question 46Mathematics (Course 1 syllabus)

関数 f(x) = x³ − 12x について、区間 −3 ≤ x ≤ 3 における最大値として正しいものを選べ。

  1. −16
  2. 16 Correct answer.
  3. 0
  4. 9

Explanation

f'(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2) であるから、x = −2 で極大、x = 2 で極小となる。端点を含めて f(−3) = 9、f(−2) = 16、f(2) = −16、f(3) = −9 を比べると最大値は 16 である。

Question 47Mathematics (Course 1 syllabus)

定積分 ∫₁² (x − 1)(x − 3) dx の値として正しいものを選べ。

  1. −1/3 Correct answer.
  2. 1/3
  3. −2/3
  4. 2/3

Explanation

(x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3 であり、その原始関数は x³/3 − 2x² + 3x である。x = 2 で 8/3 − 8 + 6 = 2/3、x = 1 で 1/3 − 2 + 3 = 4/3 となり、差は 2/3 − 4/3 = −1/3 である。区間内で関数が負であることからも負の値になることが確認できる。

Question 48Mathematics (Course 1 syllabus)

5人を2つの部屋 A, B に分けるとき、どちらの部屋にも少なくとも1人は入るような分け方の総数として正しいものを選べ。

  1. 20
  2. 32
  3. 30 Correct answer.
  4. 25

Explanation

各部屋に入るか入らないかを人ごとに決めると 2⁵ = 32 通りあるが、全員が A に入る場合と全員が B に入る場合の2通りは条件に反する。したがって 32 − 2 = 30 通りである。

Question 49Mathematics (Course 1 syllabus)

方程式 2sin²θ − cos θ − 1 = 0 を 0° ≤ θ < 360° の範囲で解くとき、解の個数として正しいものを選べ。

  1. 2個
  2. 1個
  3. 3個 Correct answer.
  4. 4個

Explanation

sin²θ = 1 − cos²θ を代入すると −2cos²θ − cos θ + 3 = 0、すなわち 2cos²θ + cos θ − 3 = 0 となる。因数分解すると (2cos θ + 3)(cos θ − 1) = 0 であり、−1 ≤ cos θ ≤ 1 より cos θ = 1 のみが有効で θ = 0° の1個となる。ただし θ = 0° を含めて数えると解は1個であり、範囲の扱いに注意が必要である。

Question 50Mathematics (Course 1 syllabus)

円 x² + y² = 4 上の点 P と、直線 y = x + 4 上の点 Q の距離 PQ の最小値として正しいものを選べ。

  1. 2√2 − 2 Correct answer.
  2. 2√2 + 2
  3. 2
  4. √2

Explanation

原点と直線 x − y + 4 = 0 の距離は |4|/√2 = 2√2 である。円の半径は 2 なので、円上の点と直線上の点の距離の最小値は 2√2 − 2 となる。中心から直線へ下ろした垂線に沿って最短距離が実現する。