非復元抽出における条件付き確率と独立
袋に赤玉4個と青玉6個が入っている。玉を1個取り出して色を記録し、袋に戻さずに続けてもう1個取り出す。生徒Eは「1回目に赤が出たら赤は1個減るので、2回目に赤が出る確率は4/10より小さくなる。だから2回目に赤が出る確率は1/3だ」と主張した。生徒Fは「2回目に赤が出る確率は、1回目の結果を知る前なら4/10のままだ」と言う。また、生徒Gは「少なくとも1回赤が出たという条件の下で、2回とも赤である確率は、2回とも赤の確率と同じ2/15だ」と計算した。授業では、条件付き確率と独立の定義を確認し、E、F、Gの主張を順に検討することになった。袋から取り出した玉は戻さないため、1回目と2回目の結果は独立ではない。授業の目標は、P(A∩B)=P(A)P(B)が成り立つとき独立と呼ぶこと、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)を正しく使うことである。
1. 2回目が赤である確率P(2回目赤)と、1回目が赤であった条件の下で2回目が赤である確率P(2回目赤|1回目赤)を求め、独立かどうか判定せよ。
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P(2回目赤)=P(赤赤)+P(青赤)=4/10×3/9 + 6/10×4/9 =12/90+24/90=36/90=2/5=0.4。P(2回目赤|1回目赤)=3/9=1/3。両者は等しくないので独立ではない。Eの1/3は条件付き確率であり、2回目の無条件確率ではない。Fの4/10は無条件確率としては正しい。
2. 少なくとも1回赤が出た条件の下で2回とも赤である確率を求めよ。Gの2/15という答えが誤りである理由も述べよ。
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P(少なくとも1回赤)=1-P(青青)=1-(6/10)(5/9)=1-30/90=2/3。P(赤赤)=4/10×3/9=12/90=2/15。条件付き確率は(2/15)/(2/3)=2/15×3/2=1/5である。Gは分母のP(少なくとも1回赤)を省き、P(赤赤)をそのまま条件付き確率としている。
3. Eが「1回目に赤が出たら2回目は赤が出にくい」と言うとき、その直感はどの点で正しく、どの点で誤っているか。条件付き確率の式を用いて説明せよ。
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1回目に赤が出ると袋の赤は3個、全体は9個になるので、P(2回目赤|1回目赤)=3/9=1/3<4/10である。この意味では「赤が出にくい」は正しい。しかしEはそれを「2回目に赤が出る確率」全体と混同している。2回目が赤になる経路には、1回目青→2回目赤もあり、P(2回目赤)=2/5である。条件付き確率と無条件確率は分母が異なる。