直角三角形の頂点：内積0の3通りの検討
座標平面上に3点A(1,2)、B(4,6)、C(t,0)がある。tは実数で、3点は一直線上にないとする。生徒Hは「三角形ABCが直角三角形になるのは、角Bが直角のときだけだろう」と考え、AB↑=(3,4)、BC↑=(t-4,-6)の内積を0と置いて3(t-4)+4(-6)=0を解き、t=12を得た。生徒Iは「直角になる頂点はBとは限らない。角A、角B、角Cの3通りを調べる必要がある」と指摘した。授業では、内積が0になる条件を各頂点で立て、得られたtが三角形を成すかどうかも確認することになった。角Cが直角になる場合の方程式はtの2次式になる。Hはt=12のとき検算せず、Iは3通りを調べるべきだと言う。内積の計算では、ベクトルの始点をそろえることが重要である。HはAB↑とBC↑をそのまま使ったが、角BではBA↑とBC↑を使うべきだという意見も出た。
1. 角Bが直角となるtを求めよ。Hの計算を検算し、AB↑とBC↑を使う方法が妥当かも説明せよ。
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角BではBA↑=A-B=(-3,-4)、BC↑=C-B=(t-4,-6)。内積0より(-3)(t-4)+(-4)(-6)=-3t+12+24=36-3t=0、t=12。HのAB↑=(3,4)を使うと3(t-4)+4(-6)=3t-12-24=3t-36=0で同じt=12になる。AB↑=-BA↑なので内積0の条件は変わらない。ただし角Bの2辺はBAとBCであり、ABはBを始点としないので、説明では始点をそろえる必要がある。
2. 角Aが直角となるtを求めよ。
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角AではAB↑=(3,4)、AC↑=(t-1,-2)。内積0より3(t-1)+4(-2)=3t-3-8=3t-11=0、t=11/3である。
3. 角Cが直角となるtが存在するか調べ、三角形ABCが直角三角形となるtをすべて求めよ。
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角CではCA↑=(1-t,2)、CB↑=(4-t,6)。内積0より(1-t)(4-t)+12=0。展開すると4-t-4t+t^2+12=t^2-5t+16=0。判別式D=25-64=-39<0なので実数解はない。角Cが直角になるtは存在しない。以上よりt=12（角B）またはt=11/3（角A）である。t=12のときC(12,0)、t=11/3のときC(11/3,0)で、A、B、Cは一直線上にない。