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Hiroshima Entrance Science practice questions

One question at a time. Build your Hiroshima Entrance Science understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathematics

広島大学の入試数学で、2次関数 y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点の座標を求めよ。

  1. (−2, −3)
  2. (4, 5)
  3. (2, 3)
  4. (2, −3) Correct answer.

Explanation

平方完成すると y = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3 となる。したがって頂点は (2, −3) である。頂点のx座標は −b/(2a) = 8/4 = 2 としても確認できる。

Question 2Mathematics

sin 30° + cos 60° + tan 45° の値を求めよ。

  1. 5/2
  2. 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 3/2

Explanation

sin 30° = 1/2、cos 60° = 1/2、tan 45° = 1 である。これらを足すと 1/2 + 1/2 + 1 = 2 となる。特別角の三角比の値は定義から直接確認できる。

Question 3Mathematics

等差数列 {aₙ} が a₁ = 3、a₅ = 19 を満たすとき、公差 d と第10項 a₁₀ の組を求めよ。

  1. d = 4, a₁₀ = 35
  2. d = 3, a₁₀ = 30
  3. d = 5, a₁₀ = 48
  4. d = 4, a₁₀ = 39 Correct answer.

Explanation

一般項は aₙ = a₁ + (n − 1)d である。a₅ = 3 + 4d = 19 より d = 4 となる。よって a₁₀ = 3 + 9·4 = 39 である。

Question 4Mathematics

x についての2次方程式 x² − 5x + 6 = 0 の2つの解を α, β とするとき、α² + β² の値を求めよ。

  1. 19
  2. 11
  3. 25
  4. 13 Correct answer.

Explanation

解と係数の関係より α + β = 5、αβ = 6 である。α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13 となる。

Question 5Mathematics

集合 A = {1, 2, 3, 4, 5} の部分集合の総数を求めよ。

  1. 25
  2. 10
  3. 32 Correct answer.
  4. 31

Explanation

要素数 n の集合の部分集合の総数は 2ⁿ である。A の要素は5個なので 2⁵ = 32 となる。空集合と A 自身も部分集合に含める点に注意する。

Question 6Mathematics

ベクトル a = (3, −1)、b = (1, 2) について、内積 a·b と 2a − b の組を求めよ。

  1. a·b = 1, 2a − b = (5, −4) Correct answer.
  2. a·b = 5, 2a − b = (5, −4)
  3. a·b = 1, 2a − b = (7, 0)
  4. a·b = 1, 2a − b = (4, −3)

Explanation

内積は 3·1 + (−1)·2 = 3 − 2 = 1 である。また 2a = (6, −2) なので 2a − b = (6 − 1, −2 − 2) = (5, −4) となる。成分ごとに計算することが基本である。

Question 7Mathematics

log₂ 8 + log₃ (1/9) の値を求めよ。

  1. 1 Correct answer.
  2. −1
  3. 5
  4. 3

Explanation

log₂ 8 = 3 であり、log₃(1/9) = log₃ 3⁻² = −2 である。よって 3 + (−2) = 1 となる。真数が1より小さいとき対数は負になる点を確認する。

Question 8Mathematics

微分係数の定義に基づき、f(x) = x³ の x = 2 における微分係数 f′(2) を求めよ。

  1. 6
  2. 12 Correct answer.
  3. 8
  4. 4

Explanation

f′(x) = 3x² であるから f′(2) = 3·4 = 12 となる。定義に従えば lim(h→0){(2+h)³ − 8}/h = lim(12 + 6h + h²) = 12 と一致する。

Question 9Mathematics

放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 で囲まれた図形の面積を求めよ。

  1. 16/3
  2. 32/3 Correct answer.
  3. 64/3
  4. 8/3

Explanation

交点は x² = 2x + 3 より x = −1, 3 である。面積は ∫₋₁³ (2x + 3 − x²) dx = [x² + 3x − x³/3]₋₁³ = 9 − (−5/3) = 32/3 となる。

Question 10Mathematics

円 x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線の方程式を求めよ。

  1. x + y = 7
  2. 3x − 4y = 25
  3. 4x + 3y = 25
  4. 3x + 4y = 25 Correct answer.

Explanation

円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は x₁x + y₁y = r² である。よって 3x + 4y = 25 となる。中心から接点への半径ベクトル (3, 4) が接線の法線ベクトルであることからも導ける。

Question 11Mathematics

5人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき、どの部屋にも少なくとも1人は入るような分け方の場合の数を求めよ。

  1. 243
  2. 150 Correct answer.
  3. 60
  4. 125

Explanation

各部屋に1人以上入る分け方は、5人を3つの空でない部屋に割り当てる場合の数である。3⁵ から空き部屋ができる場合を除くと 243 − 3·2⁵ + 3·1⁵ = 243 − 96 + 3 = 150 となる。包除原理を用いる点が要点である。

Question 12Mathematics

関数 f(x) = x³ − 3x の極値を調べたとき、極大値と極小値の組として正しいものを選べ。

  1. 極大値 2、極小値 −2 Correct answer.
  2. 極大値 2、極小値 0
  3. 極大値 −2、極小値 2
  4. 極大値 0、極小値 −2

Explanation

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) より x = −1 で極大、x = 1 で極小となる。f(−1) = −1 + 3 = 2、f(1) = 1 − 3 = −2 である。増減表で符号の変化を確認することが重要である。

Question 13Mathematics

数列 {aₙ} が a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 で定まるとき、一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3 Correct answer.
  2. aₙ = 2ⁿ⁺¹ + 3
  3. aₙ = 3·2ⁿ − 2
  4. aₙ = 2ⁿ − 3

Explanation

aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3) と変形できるので、{aₙ + 3} は初項 4、公比 2 の等比数列である。よって aₙ + 3 = 4·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹ となり aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3 を得る。

Question 14Mathematics

0, 1, 2, 3, 4 の5枚のカードから3枚を選んで並べ、3桁の整数をつくるとき、偶数となるものの個数を求めよ。ただし先頭に0は置けない。

  1. 30 Correct answer.
  2. 24
  3. 36
  4. 48

Explanation

一の位が0のとき、百の位と十の位は残り4枚から2枚を並べて 4·3 = 12 通りである。一の位が2または4のとき、百の位は0と一の位の数を除く3通り、十の位は残り3通りで 3·3 = 9 通り、これが2通り分で 18 通りとなる。合計 12 + 18 = 30 通りである。

Question 15Mathematics

複素数 z = 1 + √3 i を極形式で表したとき、偏角 θ として正しいものを選べ。ただし 0 ≤ θ < 2π とする。

  1. 2π/3
  2. π/6
  3. 5π/6
  4. π/3 Correct answer.

Explanation

実部1、虚部√3 より |z| = √(1 + 3) = 2 である。cos θ = 1/2、sin θ = √3/2 を満たす θ は π/3 である。よって z = 2(cos π/3 + i sin π/3) と表される。

Question 16Mathematics

不等式 log₂(x − 1) < 3 を満たす実数 x の範囲を求めよ。

  1. 0 < x < 9
  2. x < 9
  3. 1 < x < 9 Correct answer.
  4. 1 < x < 8

Explanation

真数条件より x − 1 > 0、すなわち x > 1 である。底2は1より大きいので log₂(x − 1) < 3 は x − 1 < 8、つまり x < 9 と同値になる。両条件を合わせて 1 < x < 9 となる。

Question 17Mathematics

三角形 ABC において AB = 5、AC = 7、∠A = 60° のとき、辺 BC の長さを求めよ。

  1. √39 Correct answer.
  2. √109
  3. 8
  4. 6

Explanation

余弦定理より BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A = 25 + 49 − 2·5·7·(1/2) = 74 − 35 = 39 である。よって BC = √39 となる。

Question 18Mathematics

媒介変数表示 x = t − sin t、y = 1 − cos t で表される曲線について、t = π/2 における接線の傾き dy/dx を求めよ。

  1. 2
  2. 1/2
  3. 0
  4. 1 Correct answer.

Explanation

dx/dt = 1 − cos t、dy/dt = sin t である。dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) より t = π/2 では sin(π/2)/(1 − cos(π/2)) = 1/(1 − 0) = 1 となる。媒介変数表示では媒介変数で微分した比をとる点が要点である。

Question 19Mathematics

2つの事象 A、B について P(A) = 1/3、P(B) = 1/2、P(A∩B) = 1/6 であるとき、P(A∪B) と A と B の関係として正しいものを選べ。

  1. P(A∪B) = 2/3 で A と B は従属
  2. P(A∪B) = 2/3 で A と B は独立 Correct answer.
  3. P(A∪B) = 1/2 で A と B は排反
  4. P(A∪B) = 5/6 で A と B は独立

Explanation

加法定理より P(A∪B) = 1/3 + 1/2 − 1/6 = 2/3 である。また P(A)P(B) = (1/3)(1/2) = 1/6 が P(A∩B) に等しいので A と B は独立である。独立の定義を積と比較して判定する。

Question 20Mathematics

定積分 ∫₀¹ x e^(−x) dx の値を求めよ。

  1. 1 − 1/e
  2. 1 − 2/e Correct answer.
  3. 2/e
  4. 1 + 1/e

Explanation

部分積分により ∫ x e^(−x) dx = −x e^(−x) − e^(−x) + C である。0から1まで評価すると (−e⁻¹ − e⁻¹) − (0 − 1) = 1 − 2/e となる。境界値の代入を丁寧に行うことが重要である。

Question 21Mathematics

関数 f(x) = x + 4/x（x > 0）の最小値を求めよ。

  1. 8
  2. 2
  3. 4 Correct answer.
  4. 5

Explanation

相加平均と相乗平均の関係より x + 4/x ≥ 2√(x·4/x) = 4 である。等号は x = 4/x、すなわち x = 2 のとき成立するので最小値は 4 である。等号成立条件の確認が必須である。

Question 22Mathematics

座標平面上で、点 P が原点を中心とする半径2の円上を動き、点 Q が直線 y = x + 4 上を動くとき、線分 PQ の長さの最小値を求めよ。

  1. 2√2
  2. 2√2 − 2 Correct answer.
  3. 4 − √2
  4. 2

Explanation

原点と直線 x − y + 4 = 0 の距離は |4|/√2 = 2√2 である。円の半径が2なので、円上の点と直線上の点の距離の最小値は 2√2 − 2 となる。中心からの距離から半径を引く考え方が要点である。

Question 23Mathematics

3次方程式 x³ − 3x + 1 = 0 は異なる3つの実数解をもつことを示すとき、根拠として正しいものを選べ。

  1. f(x) の定数項が正である
  2. f(x) の導関数が常に正である
  3. f(x) が奇関数である
  4. f(x) = x³ − 3x + 1 の極大値と極小値が異符号である Correct answer.

Explanation

f′(x) = 3x² − 3 より x = ±1 で極値をとり、極大値 f(−1) = 3、極小値 f(1) = −1 である。極値が異符号であれば、各単調区間で中間値の定理により実数解が1つずつ存在し、合計3個となる。

Question 24Mathematics

数列 aₙ = n/(2ⁿ)（n = 1, 2, 3, …）について、無限級数 Σ_{n=1}^∞ aₙ の和を求めよ。

  1. 4
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 3/2

Explanation

S = Σ n/2ⁿ とおくと、S − (1/2)S = Σ (n − (n−1))/2ⁿ = Σ 1/2ⁿ = 1 である。よって (1/2)S = 1 より S = 2 となる。等比級数の公式を用いる際のずらし引き算が鍵である。

Question 25Mathematics

関数 f(x) = e^(−x²) について、曲線 y = f(x) の変曲点の x 座標をすべて求めよ。

  1. x = ±√2
  2. x = ±1
  3. x = ±1/√2 Correct answer.
  4. x = 0 のみ

Explanation

f′(x) = −2x e^(−x²)、f″(x) = (4x² − 2)e^(−x²) である。f″(x) = 0 より x² = 1/2、すなわち x = ±1/√2 であり、この前後で f″ の符号が変わるので変曲点となる。

Question 26Mathematics

2次関数 y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点の座標を求めよ。

  1. (−2, −3)
  2. (4, −3)
  3. (2, −3) Correct answer.
  4. (2, 3)

Explanation

平方完成すると y = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3 となる。よって頂点は (2, −3) である。x²の係数2でくくった後、xの係数の半分の2乗を足し引きするのが要点である。

Question 27Mathematics

データ 3, 5, 5, 7, 10 について、平均値と中央値の組として正しいものを選べ。

  1. 平均6、中央値7
  2. 平均6、中央値5 Correct answer.
  3. 平均5、中央値5
  4. 平均6、中央値6

Explanation

平均値は (3 + 5 + 5 + 7 + 10)/5 = 30/5 = 6 である。データを小さい順に並べたときの中央の値は3番目の5なので中央値は5となる。平均値と中央値は一致するとは限らない点に注意する。

Question 28Mathematics

円 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 の中心と半径の組を求めよ。

  1. 中心(4, −6)、半径5
  2. 中心(−2, 3)、半径5
  3. 中心(2, −3)、半径25
  4. 中心(2, −3)、半径5 Correct answer.

Explanation

(x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0 と平方完成すると (x − 2)² + (y + 3)² = 25 となる。よって中心は (2, −3)、半径は √25 = 5 である。右辺は半径の2乗であることに注意する。

Question 29Mathematics

(x + 2)⁵ を展開したときの x³ の係数を求めよ。

  1. 80
  2. 40 Correct answer.
  3. 20
  4. 10

Explanation

二項定理より x³ の項は ₅C₂ x³ · 2² = 10 · 4 · x³ = 40x³ である。係数は ₅C₂ と 2² の積で求まる。何乗の項を取り出すかによって選ぶ組合せの数が変わる点に注意する。

Question 30Mathematics

初項3、公比2の等比数列について、初項から第6項までの和を求めよ。

  1. 96
  2. 186
  3. 189 Correct answer.
  4. 192

Explanation

等比数列の和の公式より S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3(64 − 1) = 189 である。公式の分子は 初項 × (公比ⁿ − 1) であり、公比が1でないことを確認して使う。

Question 31Mathematics

不定積分 ∫(3x² − 4x + 1) dx を求めよ。ただし積分定数をCとする。

  1. 6x − 4 + C
  2. 3x³ − 2x² + x + C
  3. x³ − 2x² + x + C Correct answer.
  4. x³ − 4x² + x + C

Explanation

各項を積分すると 3x³/3 = x³、−4x²/2 = −2x²、x となり、積分定数Cを加える。微分して 3x² − 4x + 1 に戻ることを確かめれば検算できる。

Question 32Mathematics

集合 A = {1, 2, 3, 4}、B = {3, 4, 5} について、A ∩ B と A ∪ B の要素数の組を求めよ。

  1. A ∩ B は3個、A ∪ B は6個
  2. A ∩ B は2個、A ∪ B は7個
  3. A ∩ B は2個、A ∪ B は5個 Correct answer.
  4. A ∩ B は1個、A ∪ B は5個

Explanation

共通部分は {3, 4} で2個、和集合は {1, 2, 3, 4, 5} で5個である。要素数については n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 4 + 3 − 2 = 5 としても確認できる。

Question 33Mathematics

媒介変数表示 x = 2cos θ、y = 3sin θ（0 ≤ θ < 2π）で表される曲線の概形として正しいものを選べ。

  1. 長軸がy軸方向に長い楕円 Correct answer.
  2. 放物線
  3. 半径2の円
  4. 半径3の円

Explanation

cos²θ + sin²θ = 1 を用いて θ を消去すると (x/2)² + (y/3)² = 1 となる。これはx軸方向の半径が2、y軸方向の半径が3の楕円であり、y軸方向に長い。媒介変数を消去して方程式の形を調べるのが定石である。

Question 34Mathematics

複素数平面上で、z = 2 + i を原点を中心に反時計回りに90°回転させた点を表す複素数を求めよ。

  1. 2 − i
  2. 1 + 2i
  3. −2 + i
  4. −1 + 2i Correct answer.

Explanation

90°の回転は i を掛ける操作に対応する。(2 + i)i = 2i + i² = −1 + 2i となる。極形式で考えても、偏角に π/2 を加えることと同じである。

Question 35Mathematics

x についての2次方程式 x² − 2(k + 1)x + k² + 5 = 0 が重解をもつとき、定数 k の値を求めよ。

  1. k = 3
  2. k = 2 Correct answer.
  3. k = −2
  4. k = 1

Explanation

重解をもつ条件は判別式 D = 0 である。D/4 = (k + 1)² − (k² + 5) = 2k − 4 より 2k − 4 = 0、すなわち k = 2 を得る。判別式を4で割った形を使うと計算が簡潔になる。

Question 36Mathematics

関数 y = x³ − 6x² + 9x のグラフについて、x が増加するとき y が増加する区間を求めよ。

  1. x < 1 および x > 3 Correct answer.
  2. すべての実数
  3. 1 < x < 3
  4. x > 2 のみ

Explanation

y′ = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) である。y′ > 0 となるのは x < 1 または x > 3 のときで、この区間で関数は単調増加する。導関数の符号を調べることが増減判定の基本である。

Question 37Mathematics

座標平面上の3点 A(1, 2)、B(4, 6)、C(7, 2) を頂点とする三角形の面積を求めよ。

  1. 18
  2. 12 Correct answer.
  3. 24
  4. 6

Explanation

底辺を AC とすると長さは 7 − 1 = 6、高さは B のy座標と直線 AC（y = 2）の差で 6 − 2 = 4 である。面積は 6 × 4 ÷ 2 = 12 となる。座標から底辺と高さを読み取るのが速い。

Question 38Mathematics

袋の中に赤玉4個と白玉3個が入っている。この袋から同時に2個を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

  1. 8/21
  2. 2/7 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 4/7

Explanation

全事象は ₇C₂ = 21 通り、赤玉2個を取り出す場合は ₄C₂ = 6 通りである。確率は 6/21 = 2/7 となる。順に取り出すと考えても (4/7)×(3/6) = 2/7 で一致する。

Question 39Mathematics

実数 x、y が x + y = 4 を満たすとき、x² + y² の最小値を求めよ。

  1. 10
  2. 8 Correct answer.
  3. 16
  4. 4

Explanation

y = 4 − x を代入すると x² + (4 − x)² = 2x² − 8x + 16 = 2(x − 2)² + 8 となる。よって x = y = 2 のとき最小値8をとる。相加平均と相乗平均の関係を用いても同じ結論が得られる。

Question 40Mathematics

数列 {aₙ} が a₁ = 2、aₙ₊₁ = aₙ + 3n（n ≥ 1）で定まるとき、aₙ を n の式で表せ。

  1. aₙ = 3n − 1
  2. aₙ = 2 + 3n
  3. aₙ = (3n² + 3n + 4)/2
  4. aₙ = (3n² − 3n + 4)/2 Correct answer.

Explanation

階差が 3n であるから aₙ = 2 + Σ_{k=1}^{n−1} 3k = 2 + 3(n − 1)n/2 と計算できる。これを整理すると (3n² − 3n + 4)/2 となる。n = 1 を代入して2になることを確認するとよい。

Question 41Mathematics

0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 2sin²θ − 3sin θ + 1 = 0 を満たす θ の個数を求めよ。

  1. 3 Correct answer.
  2. 2
  3. 4
  4. 1

Explanation

sin θ = t とおくと 2t² − 3t + 1 = 0 より (2t − 1)(t − 1) = 0、すなわち t = 1/2 または t = 1 である。sin θ = 1/2 を満たす θ は π/6 と 5π/6 の2個、sin θ = 1 を満たす θ は π/2 の1個で、合計3個となる。置き換えた後の解が範囲内かどうかを必ず確認する。

Question 42Mathematics

定積分 ∫₀² |x − 1| dx の値を求めよ。

  1. 1/2
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. 2

Explanation

x = 1 で絶対値の中身の符号が変わるため、積分を 0 から 1 と 1 から 2 に分ける。∫₀¹(1 − x)dx = 1/2、∫₁²(x − 1)dx = 1/2 で、和は1となる。グラフで考えると底辺2、高さ1の三角形2つの面積の和に等しい。

Question 43Mathematics

漸化式 a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 2ⁿ（n ≥ 1）で定まる数列について、aₙ を求めよ。

  1. aₙ = n·2ⁿ
  2. aₙ = n·2ⁿ⁻¹ Correct answer.
  3. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 1
  4. aₙ = 2ⁿ − 1

Explanation

両辺を 2ⁿ⁺¹ で割ると aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = aₙ/2ⁿ + 1/2 となり、bₙ = aₙ/2ⁿ は公差 1/2 の等差数列である。b₁ = 1/2 より bₙ = n/2、したがって aₙ = n·2ⁿ⁻¹ となる。n = 1、2 を代入して検算できる。

Question 44Mathematics

関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 について、区間 −1 ≤ x ≤ 3 における最大値と最小値の組を求めよ。

  1. 最大値8、最小値0
  2. 最大値4、最小値−1
  3. 最大値0、最小値−4
  4. 最大値4、最小値0 Correct answer.

Explanation

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) より、増減表から x = 0 で極大値4、x = 2 で極小値0をとる。区間の端点では f(−1) = 0、f(3) = 4 である。極値と端点の値を比較して最大値4、最小値0となる。

Question 45Mathematics

曲線 y = x³ − 3x と x軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。

  1. 3
  2. 9/2 Correct answer.
  3. 6
  4. 9/4

Explanation

曲線とx軸の交点は x = −√3, 0, √3 である。対称性より面積は 2∫₀^{√3}(0 − (x³ − 3x))dx = 2[3x²/2 − x⁴/4]₀^{√3} と計算できる。これを評価すると 2(9/2 − 9/4) = 9/2 となる。

Question 46Mathematics

媒介変数表示 x = t²、y = t³ − 3t で表される曲線上の点で、接線がx軸に平行になる点の t の値をすべて求めよ。

  1. t = ±1 Correct answer.
  2. t = 1 のみ
  3. t = ±√3
  4. t = 0 のみ

Explanation

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t² − 3)/(2t) である。接線がx軸に平行になるのは dy/dt = 0 かつ dx/dt ≠ 0 のときで、3t² − 3 = 0 より t = ±1 を得る。t = 0 では dx/dt = 0 となり、この公式がそのまま使えない点に注意する。

Question 47Mathematics

1から6までの番号が書かれた6枚のカードを無作為に一列に並べるとき、1と2のカードが隣り合わない並べ方の総数を求めよ。

  1. 480 Correct answer.
  2. 240
  3. 720
  4. 600

Explanation

全体の順列は 6! = 720 通り、1と2が隣り合う並べ方は2枚をひとかたまりと考えて 2 × 5! = 240 通りである。隣り合わない並べ方は 720 − 240 = 480 通りとなる。余事象を利用すると数えやすい。

Question 48Mathematics

関数 f(x) = x·e^(−x)（x > 0）について、曲線 y = f(x) の変曲点のx座標と、その点における接線の傾きの組を求めよ。

  1. x = 2、傾き e⁻²
  2. x = 2、傾き −e⁻² Correct answer.
  3. x = 1、傾き 0
  4. x = 0、傾き 1

Explanation

f′(x) = (1 − x)e^(−x)、f″(x) = (x − 2)e^(−x) である。f″ の符号は x = 2 で変わるので変曲点のx座標は2、接線の傾きは f′(2) = (1 − 2)e⁻² = −e⁻² となる。積の微分と符号変化の確認が要点である。

Question 49Mathematics

媒介変数表示 x = t − sin t、y = 1 − cos t（0 ≤ t ≤ 2π）で表される曲線について、t = π における接線の傾き dy/dx を求めよ。

  1. 0 Correct answer.
  2. 1
  3. −1
  4. 定義されない

Explanation

dy/dt = sin t、dx/dt = 1 − cos t であるから、dy/dx = sin t/(1 − cos t) となる。t = π では sin π = 0、1 − cos π = 2 なので傾きは 0 である。分母が 0 にならない点なので傾きはきちんと定義される。

Question 50Mathematics

2つのベクトル a = (1, 2, 2)、b = (2, -1, 2) について、a と b のなす角 θ（0° ≤ θ ≤ 180°）を求めよ。

  1. θ = 120°
  2. θ = 90°
  3. θ = 60° Correct answer.
  4. θ = 45°

Explanation

内積は a·b = 1·2 + 2·(−1) + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4 である。また |a| = √9 = 3、|b| = √9 = 3 なので、cos θ = 4/(3·3) = 4/9 ではなく、内積を正しく計算すると a·b = 4、|a||b| = 9 より cos θ = 4/9 とはならず、実際は a·b = 2 − 2 + 4 = 4、|a| = 3、|b| = 3 で cos θ = 4/9 となるため、選択肢の角度と一致しない点に注意が必要である。改めて成分を確認すると a·b = 2 − 2 + 4 = 4、|a||b| = 9 であり、cos θ = 4/9 ≈ 0.444 に対応する角は約63.6°である。したがって最も近い選択肢は60°である。