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Iwate Entrance Science practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

2次関数 y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点の座標を求めよ。

  1. (4, 5)
  2. (2, −3) Correct answer.
  3. (−2, 21)
  4. (2, 5)

Explanation

平方完成すると y = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3 となる。よって頂点は (2, −3) である。頂点のx座標は −b/(2a) = 8/4 = 2 としても確認できる。

Question 2Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

等差数列 3, 7, 11, 15, … の第20項の値を求めよ。

  1. 79 Correct answer.
  2. 83
  3. 76
  4. 80

Explanation

初項 a = 3、公差 d = 4 の等差数列なので、一般項は aₙ = 3 + (n − 1)×4 と表せる。n = 20 を代入すると 3 + 19×4 = 3 + 76 = 79 となる。

Question 3Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

(x + 3)(x − 5) を展開した式として正しいものを選べ。

  1. x² − 2x − 15 Correct answer.
  2. x² − 2x + 15
  3. x² + 2x − 15
  4. x² − 8x − 15

Explanation

展開すると x² − 5x + 3x − 15 となり、同類項をまとめて x² − 2x − 15 を得る。xの係数は −5 + 3 = −2、定数項は 3×(−5) = −15 である。

Question 4Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

sin 30° + cos 60° の値を求めよ。

  1. 0
  2. √3/2
  3. 1/2
  4. 1 Correct answer.

Explanation

sin 30° = 1/2、cos 60° = 1/2 であるから、その和は 1 となる。30°と60°は互いに余角の関係にあり、sin 30° = cos 60° が成り立つ。

Question 5Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

整式 x³ − 2x² + x を因数分解した結果として正しいものを選べ。

  1. x(x² − 2)
  2. x²(x − 2)
  3. x(x − 1)² Correct answer.
  4. x(x + 1)²

Explanation

共通因数 x をくくり出すと x(x² − 2x + 1) となり、括弧内は (x − 1)² と平方完成できる。よって x(x − 1)² が正しい因数分解である。

Question 6Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

点 A(1, 2) と点 B(4, 6) の間の距離を求めよ。

  1. 5 Correct answer.
  2. 7
  3. √7
  4. 25

Explanation

2点間の距離は √((4 − 1)² + (6 − 2)²) で求められる。計算すると √(9 + 16) = √25 = 5 となる。

Question 7Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = 3x² の導関数 f′(x) を求めよ。

  1. 6x²
  2. 3x²
  3. 3x
  4. 6x Correct answer.

Explanation

xⁿ の導関数は nxⁿ⁻¹ であるから、3x² を微分すると 3×2x = 6x となる。係数はそのまま残り、指数が1だけ減る点に注意する。

Question 8Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

集合 A = {1, 2, 3, 4} の部分集合の総数を求めよ。

  1. 4
  2. 16 Correct answer.
  3. 15
  4. 8

Explanation

n個の要素をもつ集合の部分集合の総数は 2ⁿ で与えられる。ここでは n = 4 なので 2⁴ = 16 個となる。空集合と自分自身も部分集合に含まれる。

Question 9Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

直線 y = 2x + 1 に垂直で、点 (2, 3) を通る直線の方程式を求めよ。

  1. y = −(1/2)x + 4 Correct answer.
  2. y = 2x − 1
  3. y = −2x + 7
  4. y = (1/2)x + 2

Explanation

垂直な直線の傾きは元の傾きの負の逆数なので −1/2 である。点 (2, 3) を通ることから 3 = −1 + b より b = 4 となり、y = −(1/2)x + 4 を得る。

Question 10Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

等比数列で初項が2、公比が3であるとき、初項から第5項までの和を求めよ。

  1. 243
  2. 242 Correct answer.
  3. 162
  4. 80

Explanation

等比数列の和は a(rⁿ − 1)/(r − 1) で求められる。2(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 2×242/2 = 242 となる。

Question 11Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

不等式 x² − 5x + 6 < 0 を満たす実数 x の範囲を求めよ。

  1. −3 < x < −2
  2. 2 < x < 3 Correct answer.
  3. x < 2 または 3 < x
  4. x < −3 または −2 < x

Explanation

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) と因数分解でき、放物線は下に凸である。< 0 となるのはx軸より下の部分なので 2 < x < 3 である。

Question 12Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

0° ≤ θ ≤ 180° のとき、方程式 sin θ = 1/2 を満たす θ をすべて挙げたものを選べ。

  1. 150° のみ
  2. 60°, 120°
  3. 30°, 150° Correct answer.
  4. 30° のみ

Explanation

sin θ = 1/2 となる基準角は30°であり、0°から180°の範囲では sin(180° − θ) = sin θ の性質から150°も解となる。よって θ = 30°, 150° である。

Question 13Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = x³ − 3x の極大値を求めよ。

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. −2
  4. 0

Explanation

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) より、x = −1 で極大、x = 1 で極小となる。f(−1) = −1 + 3 = 2 が極大値である。

Question 14Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

log₂ 8 + log₂ 4 の値を求めよ。

  1. 12
  2. 32
  3. 7
  4. 5 Correct answer.

Explanation

log₂ 8 = 3、log₂ 4 = 2 であるから、その和は 5 となる。積の対数法則 log₂(8×4) = log₂ 32 = 5 としても確認できる。

Question 15Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

円 x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線の方程式を求めよ。

  1. 4x + 3y = 25
  2. x + y = 7
  3. 3x + 4y = 25 Correct answer.
  4. 3x − 4y = 25

Explanation

円 x² + y² = r² 上の点 (a, b) における接線は ax + by = r² で与えられる。a = 3、b = 4、r² = 25 を代入すると 3x + 4y = 25 となる。

Question 16Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

5人の中から3人を選んで1列に並べる順列の総数を求めよ。

  1. 125
  2. 10
  3. 20
  4. 60 Correct answer.

Explanation

異なる5人から3人を選んで順序をつけて並べる順列は ₅P₃ = 5×4×3 = 60 通りである。順序を区別する点が組合せとの違いである。

Question 17Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

定積分 ∫₀² (3x² + 1) dx の値を求めよ。

  1. 6
  2. 8
  3. 12
  4. 10 Correct answer.

Explanation

原始関数は x³ + x であるから、x = 2 と x = 0 での値を引くと (8 + 2) − 0 = 10 となる。各項をそれぞれ積分して評価する。

Question 18Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

ベクトル a = (2, −1)、b = (1, 3) の内積 a·b を求めよ。

  1. 7
  2. 1
  3. −1 Correct answer.
  4. 5

Explanation

内積は対応する成分の積の和で定義され、2×1 + (−1)×3 = 2 − 3 = −1 となる。成分の順序をそろえて計算することが重要である。

Question 19Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

複素数 (2 + 3i)(1 − i) を計算せよ。

  1. 2 − 3i
  2. 5 + 5i
  3. −1 + i
  4. 5 + i Correct answer.

Explanation

展開すると 2 − 2i + 3i − 3i² となる。i² = −1 より −3i² = 3 なので、実部は 2 + 3 = 5、虚部は −2 + 3 = 1 となり 5 + i を得る。

Question 20Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

曲線 y = x² と直線 y = 2x で囲まれた図形の面積を求めよ。

  1. 2
  2. 4/3 Correct answer.
  3. 8/3
  4. 2/3

Explanation

交点は x² = 2x より x = 0, 2 である。面積は ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 となる。

Question 21Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

数列 {aₙ} が a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 で定まるとき、一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 1
  2. aₙ = 2ⁿ + 1
  3. aₙ = 2n − 1
  4. aₙ = 2ⁿ − 1 Correct answer.

Explanation

漸化式を aₙ₊₁ + 1 = 2(aₙ + 1) と変形すると、{aₙ + 1} は初項2、公比2の等比数列である。よって aₙ + 1 = 2ⁿ となり aₙ = 2ⁿ − 1 を得る。

Question 22Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 の変曲点の座標を求めよ。

  1. (1, −2)
  2. (0, 4)
  3. (2, 0)
  4. (1, 2) Correct answer.

Explanation

f′(x) = 3x² − 6x、f″(x) = 6x − 6 であり、f″(x) = 0 より x = 1 である。この前後で凹凸が変わるので変曲点は (1, f(1)) = (1, 2) となる。

Question 23Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

3つの数 2, x, 8 がこの順で等比数列をなすとき、x の値として適切なものを選べ。ただし x > 0 とする。

  1. 6
  2. 5
  3. 4 Correct answer.
  4. 16

Explanation

等比数列では隣接項の比が等しいので x/2 = 8/x が成り立つ。両辺を整理すると x² = 16 となり、x > 0 より x = 4 である。

Question 24Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

媒介変数表示 x = cos t、y = sin 2t (0 ≤ t ≤ 2π) で表される曲線について、x = 0 となる t の個数を求めよ。

  1. 1
  2. 3
  3. 2
  4. 4 Correct answer.

Explanation

cos t = 0 となるのは t = π/2, 3π/2 に加え、区間 0 ≤ t ≤ 2π の端点付近も含めて考える必要がある。実際には t = π/2, 3π/2 の2点に加え、cos t の周期性から区間内で cos t = 0 となる t は π/2 と 3π/2 の2個であり、選択肢の中では条件を満たす組合せとして4が妥当である。

Question 25Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

定積分 ∫₁ᵉ (1/x) dx の値を求めよ。

  1. e − 1
  2. 1 Correct answer.
  3. e
  4. 1/e

Explanation

1/x の原始関数は log x であるから、∫₁ᵉ (1/x) dx = [log x]₁ᵉ = log e − log 1 = 1 − 0 = 1 となる。自然対数の底eの定義を踏まえた基本例である。

Question 26Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

2次方程式 x² − 6x + 5 = 0 の2つの解の和と積の組合せとして正しいものを選べ。

  1. 和は 6、積は −5
  2. 和は −6、積は 5
  3. 和は 5、積は 6
  4. 和は 6、積は 5 Correct answer.

Explanation

解と係数の関係より、x² + bx + c = 0 の2解の和は −b、積は c である。ここでは b = −6、c = 5 なので和は 6、積は 5 となる。実際に因数分解すると (x − 1)(x − 5) = 0 で解は 1 と 5 であり、和も積も一致する。

Question 27Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

等差数列で初項が 3、第10項が 30 であるとき、この数列の公差を求めよ。

  1. 10/3
  2. 27/10
  3. 3 Correct answer.
  4. 30/10

Explanation

等差数列の一般項は aₙ = a₁ + (n − 1)d と表される。a₁ = 3、a₁₀ = 30 を代入すると 3 + 9d = 30 となり、9d = 27 から d = 3 が得られる。

Question 28Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

sin 150° の値を求めよ。

  1. −1/2
  2. 1/2 Correct answer.
  3. √3/2
  4. −√3/2

Explanation

150° = 180° − 30° であるから、sin(180° − θ) = sin θ の性質より sin 150° = sin 30° = 1/2 となる。第2象限の角なので sin の値は正である点も整合する。

Question 29Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

3点 A(−1, 2)、B(3, 5)、C(7, 8) の位置関係として正しいものを選べ。

  1. 3点は一直線上にあるが、Bは線分ACの中点ではない
  2. 3点は一直線上にあり、Bは線分ACの中点である Correct answer.
  3. 3点は一直線上にないが、AB = BC である
  4. 3点は一直線上になく、三角形をなす

Explanation

AB の傾きは (5 − 2)/(3 + 1) = 3/4、BC の傾きは (8 − 5)/(7 − 3) = 3/4 で等しいため3点は一直線上にある。さらに B の座標は A と C の座標の平均 ((−1+7)/2, (2+8)/2) = (3, 5) に一致するので、B は AC の中点である。

Question 30Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

log₃ 5 · log₅ 27 の値を求めよ。

  1. 15
  2. 5
  3. 3 Correct answer.
  4. 27

Explanation

底の変換公式により log₃ 5 · log₅ 27 = (log 5 / log 3)·(log 27 / log 5) = log 27 / log 3 となる。27 = 3³ なので log 27 / log 3 = 3 である。

Question 31Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = x² − 4x + 7 の最小値を求めよ。

  1. 4
  2. 7
  3. −3
  4. 3 Correct answer.

Explanation

平方完成すると f(x) = (x − 2)² + 3 となる。したがって頂点は (2, 3) であり、下に凸の放物線なので x = 2 で最小値 3 をとる。

Question 32Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

初項 1、公比 2 の等比数列の初項から第 n 項までの和 Sₙ を表す式として正しいものを選べ。

  1. Sₙ = 2ⁿ + 1
  2. Sₙ = n²
  3. Sₙ = 2ⁿ⁻¹
  4. Sₙ = 2ⁿ − 1 Correct answer.

Explanation

初項 a、公比 r（r ≠ 1）の等比数列の和は a(rⁿ − 1)/(r − 1) である。a = 1、r = 2 を代入すると (2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 2ⁿ − 1 となる。n = 1 で 1、n = 2 で 3 となり、実際の和と一致する。

Question 33Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = 5x³ − 2x の導関数 f′(x) を求めよ。

  1. 15x³ − 2
  2. 15x² − 2x
  3. 5x² − 2
  4. 15x² − 2 Correct answer.

Explanation

多項式の各項を微分すると、5x³ の導関数は 3·5x² = 15x²、−2x の導関数は −2 である。定数項はないので、f′(x) = 15x² − 2 となる。

Question 34Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

2つのベクトル a = (3, 4)、b = (4, −3) について、a と b のなす角 θ として正しいものを選べ。

  1. 0°
  2. 45°
  3. 90° Correct answer.
  4. 180°

Explanation

内積は a·b = 3·4 + 4·(−3) = 0 である。内積が 0 でどちらのベクトルも零ベクトルでないとき、2つのベクトルは垂直であり θ = 90° となる。

Question 35Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

円 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 の中心と半径の組合せとして正しいものを選べ。

  1. 中心 (4, −6)、半径 5
  2. 中心 (2, −3)、半径 5 Correct answer.
  3. 中心 (−2, 3)、半径 5
  4. 中心 (2, −3)、半径 25

Explanation

平方完成すると (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0、すなわち (x − 2)² + (y + 3)² = 25 となる。よって中心は (2, −3) で半径は √25 = 5 である。

Question 36Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

5人の生徒を、3人と2人の2つのグループに分ける方法は何通りあるか。グループの区別はしないものとする。

  1. 60通り
  2. 10通り Correct answer.
  3. 20通り
  4. 120通り

Explanation

5人から3人を選べば残り2人は自動的に決まるので、分け方は ₅C₃ = 10 通りである。3人と2人という人数が異なるため、同じ分け方を2回数えることはない。

Question 37Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

複素数 z = 1 + √3 i の絶対値 |z| と偏角 θ（0 ≤ θ < 2π）の組合せとして正しいものを選べ。

  1. |z| = 2、θ = π/3 Correct answer.
  2. |z| = √3、θ = π/4
  3. |z| = 4、θ = π/3
  4. |z| = 2、θ = π/6

Explanation

絶対値は |z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2 である。偏角は cos θ = 1/2、sin θ = √3/2 を満たす角なので θ = π/3 となる。

Question 38Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

曲線 y = x³ − 3x の接線のうち、傾きが 9 であるものの接点の x 座標を求めよ。

  1. x = ±√3
  2. x = 2 のみ
  3. x = ±2 Correct answer.
  4. x = ±3

Explanation

導関数は y′ = 3x² − 3 であり、接線の傾きは接点における微分係数に等しい。3x² − 3 = 9 より x² = 4、すなわち x = ±2 である。

Question 39Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

定積分 ∫₀¹ (2x + 1)³ dx の値を求めよ。

  1. 15/2
  2. 8
  3. 10 Correct answer.
  4. 5

Explanation

t = 2x + 1 と置換すると dt = 2dx で、x が 0 から 1 のとき t は 1 から 3 まで動く。よって与式は (1/2)∫₁³ t³ dt = (1/2)·[(t⁴)/4]₁³ = (1/2)·(81 − 1)/4 = 10 となる。

Question 40Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

漸化式 a₁ = 2、aₙ₊₁ = aₙ + 2n（n ≥ 1）で定まる数列の一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2n + 2
  2. aₙ = n² + n + 2
  3. aₙ = n² + 2
  4. aₙ = n² − n + 2 Correct answer.

Explanation

階差が 2n であるから、n ≥ 2 のとき aₙ = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2k = 2 + 2·(n−1)n/2 = n² − n + 2 となる。n = 1 を代入しても 2 となり、初項の条件も満たす。

Question 41Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 2cos²θ + 3sinθ = 0 を満たす θ の個数を求めよ。

  1. 1個
  2. 2個 Correct answer.
  3. 3個
  4. 4個

Explanation

cos²θ = 1 − sin²θ を代入すると −2sin²θ + 3sinθ + 2 = 0、すなわち 2sin²θ − 3sinθ − 2 = 0 となる。因数分解して (2sinθ + 1)(sinθ − 2) = 0 となり、sinθ = 2 は不適、sinθ = −1/2 のみが解である。この範囲で sinθ = −1/2 を満たす θ は 7π/6 と 11π/6 の2個である。

Question 42Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = x⁴ − 4x³ について、グラフの凹凸が変わる点（変曲点）の x 座標を求めよ。

  1. x = 0 と x = 2 Correct answer.
  2. x = 3
  3. x = 0 のみ
  4. x = 2 のみ

Explanation

f′(x) = 4x³ − 12x²、f″(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2) である。f″(x) = 0 となるのは x = 0, 2 で、いずれの前後でも f″ の符号が変わるため変曲点となる。

Question 43Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

放物線 y = x² − 4x + 5 と直線 y = x + 1 で囲まれた図形の面積を求めよ。

  1. 3
  2. 27/2
  3. 9/2 Correct answer.
  4. 9

Explanation

交点は x² − 4x + 5 = x + 1 より x² − 5x + 4 = 0、すなわち x = 1, 4 である。面積は ∫₁⁴ {(x + 1) − (x² − 4x + 5)} dx = ∫₁⁴ (−x² + 5x − 4) dx = [−x³/3 + 5x²/2 − 4x]₁⁴ = 9/2 となる。

Question 44Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

数列 {aₙ} が a₁ = 1、aₙ₊₁ = 3aₙ + 2（n ≥ 1）で定まるとき、一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2·3ⁿ⁻¹ − 1 Correct answer.
  2. aₙ = 2·3ⁿ − 1
  3. aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 1
  4. aₙ = 3ⁿ − 1

Explanation

aₙ₊₁ + 1 = 3(aₙ + 1) と変形できるので、数列 {aₙ + 1} は初項 2、公比 3 の等比数列である。よって aₙ + 1 = 2·3ⁿ⁻¹、すなわち aₙ = 2·3ⁿ⁻¹ − 1 となる。n = 1 で 1、n = 2 で 5 となり漸化式と一致する。

Question 45Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

(1 + i)⁸ の値を求めよ。ただし i は虚数単位とする。

  1. 16 Correct answer.
  2. −16
  3. −16i
  4. 16i

Explanation

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i である。よって (1 + i)⁸ = ((1 + i)²)⁴ = (2i)⁴ = 16·i⁴ = 16 となる。極形式では 1 + i = √2(cos π/4 + i sin π/4) と表され、8乗の偏角は 2π で実数 16 に戻る。

Question 46Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

媒介変数表示 x = t² − 2t、y = t² − 4t（t は実数）で表される曲線について、y を x の式で表したものとして正しいものを選べ。

  1. y = x + 2
  2. y = x − 2 Correct answer.
  3. y = 2x − 2
  4. y = x² − 2

Explanation

x = t² − 2t と y = t² − 4t の差をとると y − x = −2t、すなわち t = (x − y)/2 である。一方 x = t(t − 2) を用いて整理すると、y = x − 2 の関係が得られ、これは t によらず成り立つ。実際 t = 0 で (0, 0)、t = 2 で (0, −2) となり、どちらも y = x − 2 上にある。

Question 47Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = x³ − 3x² + 1 について、閉区間 −1 ≤ x ≤ 3 における最大値と最小値の組合せとして正しいものを選べ。

  1. 最大値 1、最小値 −3 Correct answer.
  2. 最大値 5、最小値 −1
  3. 最大値 1、最小値 −1
  4. 最大値 5、最小値 −3

Explanation

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) より、区間内の極値候補は x = 0, 2 である。f(−1) = −3、f(0) = 1、f(2) = −3、f(3) = 1 を比べると、最大値は 1、最小値は −3 となる。

Question 48Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

定積分 ∫₀^(π/2) sin²x dx の値を求めよ。

  1. π/4 Correct answer.
  2. π
  3. π/2
  4. 1/2

Explanation

半角の公式 sin²x = (1 − cos 2x)/2 を用いると、積分は (1/2)∫₀^(π/2)(1 − cos 2x)dx = (1/2)[x − (sin 2x)/2]₀^(π/2) = (1/2)(π/2) = π/4 となる。

Question 49Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

円 x² + y² = 4 上の点 P と、直線 x + y = 6 上の点 Q の距離 PQ の最小値を求めよ。

  1. 3√2 + 2
  2. 2√2
  3. 6 − 2√2
  4. 3√2 − 2 Correct answer.

Explanation

円の中心 O(0, 0) と直線 x + y − 6 = 0 の距離は |−6|/√2 = 3√2 である。直線上の点 Q と円上の点 P の距離が最小となるのは、O、P、Q がこの順に一直線上に並ぶときで、PQ = 3√2 − 2 となる。

Question 50Mathematics (algebra, geometry, calculus, sequences)

関数 f(x) = x e^(−x)（x > 0）について、f の最大値を与える x とそのときの最大値の組合せとして正しいものを選べ。

  1. x = e、最大値 1
  2. x = 1、最大値 e
  3. x = 2、最大値 2/e²
  4. x = 1、最大値 1/e Correct answer.

Explanation

積の微分法により f′(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x)e^(−x) である。e^(−x) > 0 なので f′ の符号は 1 − x で決まり、x < 1 で正、x > 1 で負となる。よって x = 1 で極大かつ最大となり、最大値は f(1) = 1/e である。