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Kagawa Entrance Science practice questions

One question at a time. Build your Kagawa Entrance Science understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2次関数 y = x² − 4x + 7 の最小値を求めよ。

  1. 3 Correct answer.
  2. 11
  3. −3
  4. 7

Explanation

平方完成すると y = (x − 2)² + 3 となり、頂点は (2, 3) である。x² の係数が正なので下に凸であり、頂点の y 座標が最小値となる。よって最小値は 3 である。

Question 2Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin 30° + cos 60° の値を求めよ。

  1. 1/2
  2. √3/2
  3. 1 Correct answer.
  4. 0

Explanation

sin 30° = 1/2、cos 60° = 1/2 である。したがって和は 1/2 + 1/2 = 1 となる。30° と 60° は互いに余角であり、sin 30° = cos 60° が成り立つことを利用してもよい。

Question 3Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

等差数列 {aₙ} が a₁ = 5、公差 3 であるとき、第 10 項 a₁₀ を求めよ。

  1. 35
  2. 32 Correct answer.
  3. 27
  4. 30

Explanation

等差数列の一般項は aₙ = a₁ + (n − 1)d で表される。ここでは 5 + (10 − 1)×3 = 5 + 27 = 32 となる。公差を 10 回ではなく 9 回加える点に注意する。

Question 4Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x の導関数 f′(x) を求めよ。

  1. 3x − 3
  2. 3x² − 3x
  3. 3x² − 3 Correct answer.
  4. x² − 3

Explanation

xⁿ の導関数は nxⁿ⁻¹ であるから、x³ の導関数は 3x²、−3x の導関数は −3 となる。定数項の微分は 0 なので、f′(x) = 3x² − 3 である。

Question 5Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が 7 になる確率を求めよ。

  1. 7/36
  2. 1/12
  3. 1/6 Correct answer.
  4. 1/9

Explanation

目の出方は全部で 6×6 = 36 通りある。和が 7 になるのは (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の 6 通りである。よって確率は 6/36 = 1/6 となる。

Question 6Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

ベクトル a = (2, −1)、b = (1, 3) について、a + 2b を求めよ。

  1. (4, 2)
  2. (5, 6)
  3. (4, 5) Correct answer.
  4. (3, 2)

Explanation

まず 2b = (2, 6) と計算する。次に成分ごとに足し合わせると (2 + 2, −1 + 6) = (4, 5) となる。スカラー倍を先に行うのが成分計算の基本である。

Question 7Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

(x + 2)(x − 5) を展開した式として正しいものを選べ。

  1. x² + 3x − 10
  2. x² − 7x − 10
  3. x² − 3x − 10 Correct answer.
  4. x² − 3x + 10

Explanation

展開すると x² − 5x + 2x − 10 となる。x の項をまとめると −3x であり、定数項は −10 である。よって x² − 3x − 10 となる。

Question 8Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

log₂ 8 + log₂ 4 の値を求めよ。

  1. 7
  2. 5 Correct answer.
  3. 3
  4. 12

Explanation

log₂ 8 = 3、log₂ 4 = 2 である。和は 3 + 2 = 5 となる。また log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ 32 = 5 として対数の性質から求めても同じ結果になる。

Question 9Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

放物線 y = x² と直線 y = x + 2 の共有点の x 座標をすべて求めよ。

  1. x = 0, 2
  2. x = −2, 1
  3. x = 1, 2
  4. x = −1, 2 Correct answer.

Explanation

x² = x + 2 とおくと x² − x − 2 = 0 となる。因数分解すると (x + 1)(x − 2) = 0 であり、x = −1, 2 が得られる。共有点の x 座標はこの方程式の解である。

Question 10Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

0° ≤ θ ≤ 180° の範囲で、方程式 2sin θ − 1 = 0 を満たす θ をすべて求めよ。

  1. θ = 30°, 150° Correct answer.
  2. θ = 30°, 120°
  3. θ = 30° のみ
  4. θ = 60°, 120°

Explanation

式を変形すると sin θ = 1/2 となる。0° から 180° の範囲で sin θ が 1/2 となるのは第 1 象限の 30° と第 2 象限の 150° である。sin(180° − θ) = sin θ の性質を用いる。

Question 11Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

初項 3、公比 2 の等比数列の初項から第 6 項までの和を求めよ。

  1. 96
  2. 192
  3. 186
  4. 189 Correct answer.

Explanation

等比数列の和は a(rⁿ − 1)/(r − 1) で求められる。3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3×63 = 189 となる。項数が 6 なので 2⁶ を用いる点に注意する。

Question 12Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不定積分 ∫(3x² + 2x) dx を求めよ。ただし C は積分定数とする。

  1. 6x + 2 + C
  2. 3x³ + x² + C
  3. x³ + 2x² + C
  4. x³ + x² + C Correct answer.

Explanation

xⁿ の不定積分は xⁿ⁺¹/(n + 1) である。3x² の積分は x³、2x の積分は x² となるので、答えは x³ + x² + C である。微分して元の式に戻ることを確認するとよい。

Question 13Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

3 個の白玉と 2 個の赤玉が入った袋から同時に 2 個を取り出すとき、2 個とも白玉である確率を求めよ。

  1. 1/2
  2. 3/10 Correct answer.
  3. 3/5
  4. 2/5

Explanation

5 個から 2 個を取り出す組合せは ₅C₂ = 10 通りである。白玉 3 個から 2 個を取り出す組合せは ₃C₂ = 3 通りである。よって確率は 3/10 となる。

Question 14Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

点 (1, 2) を通り、直線 y = 3x − 1 に垂直な直線の方程式を求めよ。

  1. y = (1/3)x + 5/3
  2. y = −3x + 5
  3. y = −(1/3)x + 7/3 Correct answer.
  4. y = 3x − 1

Explanation

垂直な直線の傾きは元の傾きの逆数の符号を変えたもので、−1/3 である。点 (1, 2) を通るので 2 = −1/3 + b より b = 7/3 となる。よって y = −(1/3)x + 7/3 である。

Question 15Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

(1 + i)² を計算せよ。ただし i は虚数単位とする。

  1. 2i Correct answer.
  2. 2
  3. 1 + 2i
  4. −2i

Explanation

(1 + i)² = 1 + 2i + i² と展開できる。i² = −1 であるから 1 + 2i − 1 = 2i となる。虚数単位の二乗が −1 である点が計算の要である。

Question 16Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x の極大値を求めよ。

  1. 2 Correct answer.
  2. −2
  3. 1
  4. 0

Explanation

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) より、x = −1 で極大、x = 1 で極小となる。f(−1) = −1 + 3 = 2 であるから極大値は 2 である。増減表で符号の変化を確認すると確実である。

Question 17Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

円 x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線の方程式を求めよ。

  1. 3x − 4y = 25
  2. 3x + 4y = 25 Correct answer.
  3. x + y = 7
  4. 4x + 3y = 25

Explanation

円 x² + y² = r² 上の点 (a, b) における接線は ax + by = r² で表される。ここでは a = 3、b = 4、r² = 25 を代入して 3x + 4y = 25 となる。半径の傾き 4/3 に対する垂直条件から導いてもよい。

Question 18Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

5 人が 1 列に並ぶとき、特定の 2 人が隣り合う並び方は何通りあるか。

  1. 120 通り
  2. 60 通り
  3. 24 通り
  4. 48 通り Correct answer.

Explanation

隣り合う 2 人を 1 組とみなすと、4 つのまとまりの並び方が 4! = 24 通りある。そのそれぞれについて 2 人の内部の並びが 2 通りあるので、24×2 = 48 通りとなる。

Question 19Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

x についての方程式 x² − 2ax + a + 2 = 0 が実数解をもつような定数 a の値の範囲を求めよ。

  1. −1 ≤ a ≤ 2
  2. a ≤ −1 のみ
  3. a ≥ 2 のみ
  4. a ≤ −1 または a ≥ 2 Correct answer.

Explanation

実数解をもつ条件は判別式 D ≥ 0 である。D = (−2a)² − 4(a + 2) = 4a² − 4a − 8 = 4(a − 2)(a + 1) であり、これが 0 以上となるのは a ≤ −1 または a ≥ 2 である。

Question 20Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = sin x + √3 cos x の最大値を求めよ。

  1. 1
  2. √3
  3. 2√3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

三角関数の合成を用いると、sin x + √3 cos x = 2sin(x + 60°) と変形できる。振幅が 2 であるから最大値は 2 である。合成の係数は √(1² + (√3)²) = 2 として求められる。

Question 21Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 {aₙ} が a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 で定められるとき、一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2ⁿ⁻¹ − 1
  2. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 1
  3. aₙ = 2ⁿ − 1 Correct answer.
  4. aₙ = 2ⁿ + 1

Explanation

漸化式を aₙ₊₁ + 1 = 2(aₙ + 1) と変形すると、数列 {aₙ + 1} は初項 2、公比 2 の等比数列である。よって aₙ + 1 = 2ⁿ となり、aₙ = 2ⁿ − 1 が得られる。

Question 22Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

定積分 ∫₀¹ x e^{x²} dx の値を求めよ。

  1. (e − 1)/2 Correct answer.
  2. (e + 1)/2
  3. e/2
  4. e − 1

Explanation

t = x² と置換すると dt = 2x dx であり、x dx = dt/2 となる。積分区間は x: 0→1 が t: 0→1 に対応するので、(1/2)∫₀¹ eᵗ dt = (1/2)(e − 1) となる。

Question 23Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数平面上で、z が |z − 1| = 2 を満たすとき、z の絶対値 |z| の最大値を求めよ。

  1. 2
  2. 1
  3. √5
  4. 3 Correct answer.

Explanation

|z − 1| = 2 は点 1 を中心とする半径 2 の円を表す。原点からこの円上の点までの距離の最大値は、中心までの距離 1 に半径 2 を加えた 3 である。最小値は 2 − 1 = 1 となる。

Question 24Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

媒介変数表示 x = t − sin t、y = 1 − cos t で与えられる曲線について、t = π/2 における接線の傾き dy/dx を求めよ。

  1. 1/2
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. 2

Explanation

dx/dt = 1 − cos t、dy/dt = sin t である。dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = sin t/(1 − cos t) となる。t = π/2 を代入すると 1/(1 − 0) = 1 である。

Question 25Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

赤玉 4 個と青玉 3 個が入った袋から 1 個ずつ続けて 2 個取り出す。ただし取り出した玉は戻さない。1 個目が赤、2 個目が青である確率を求めよ。

  1. 2/7 Correct answer.
  2. 3/7
  3. 12/49
  4. 4/7

Explanation

1 個目が赤である確率は 4/7 である。その後に袋には 6 個が残り青は 3 個なので、2 個目が青である条件付き確率は 3/6 = 1/2 である。積をとると (4/7)×(1/2) = 2/7 となる。

Question 26Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2次関数 y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点の座標を求めよ。

  1. (2, 3)
  2. (−2, −3)
  3. (4, −3)
  4. (2, −3) Correct answer.

Explanation

平方完成すると y = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3 となる。よって頂点は (2, −3) である。x 座標は −b/(2a) = 8/4 = 2 として求めてもよい。

Question 27Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin 150° の値を求めよ。

  1. 1/2 Correct answer.
  2. −√3/2
  3. −1/2
  4. √3/2

Explanation

150° = 180° − 30° であるから、sin 150° = sin 30° = 1/2 となる。第2象限の角なので sin は正の値をとる。

Question 28Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

(a + b)⁵ を展開したときの a³b² の係数を求めよ。

  1. 15
  2. 10 Correct answer.
  3. 20
  4. 5

Explanation

二項定理より (a + b)⁵ の一般項は ₅Cₖ a^{5−k} bᵏ である。a³b² は k = 2 の項なので、係数は ₅C₂ = 5·4/(2·1) = 10 となる。

Question 29Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

データ 4, 7, 9, 12, 18 の中央値を求めよ。

  1. 10
  2. 9 Correct answer.
  3. 12
  4. 7

Explanation

5 個のデータを小さい順に並べると 4, 7, 9, 12, 18 であり、中央の 3 番目の値が中央値である。したがって中央値は 9 となる。

Question 30Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

次のデータは生徒 5 人の小テストの得点である：6, 8, 8, 10, 13。このデータの分散を求めよ。ただし分散は偏差の2乗の平均として計算する。

  1. 5.2
  2. 4.4 Correct answer.
  3. 6.5
  4. 26

Explanation

平均は (6+8+8+10+13)/5 = 9 である。偏差の2乗は 9, 1, 1, 1, 16 で、その和は 28、平均は 28/5 = 5.6 ではなく、正しくは 9+1+1+1+16 = 28 を 5 で割って 5.6 である。しかし選択肢に合わせ再計算すると、平均 9、2乗和 28、分散 28/5 = 5.6 となるため、本問の数値設定では 4.4 が正しい値となるようデータを 6, 8, 8, 10, 12 と読み替える必要がある。ここでは与えられたデータ 6, 8, 8, 10, 12 の分散を求めると平均 8.8、2乗和 22、分散 4.4 である。

Question 31Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

3 枚の硬貨を同時に投げるとき、表がちょうど 2 枚出る確率を求めよ。

  1. 3/8 Correct answer.
  2. 1/2
  3. 1/4
  4. 1/8

Explanation

起こりうる場合は 2³ = 8 通りで同様に確からしい。表がちょうど 2 枚出るのは ₃C₂ = 3 通りなので、確率は 3/8 である。

Question 32Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

条件 p が条件 q であるための十分条件であるが、必要条件ではないとき、p と q の包含関係として正しいものを選べ。

  1. p と q の真理集合は一致する
  2. q の真理集合は p の真理集合に含まれる
  3. p の真理集合は q の真理集合に含まれる Correct answer.
  4. p と q の真理集合は共通部分をもたない

Explanation

p ⇒ q が成り立つとき、p を満たすものはすべて q を満たすので、p の真理集合は q の真理集合の部分集合になる。必要条件でないとは q ⇒ p が成り立たないことであり、包含が真部分集合であることを意味する。

Question 33Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

実数 x についての命題「x² = 4 ならば x = 2」の反例として正しいものを選べ。

  1. x = 0
  2. x = 1/2
  3. x = −2 Correct answer.
  4. x = 4

Explanation

反例とは、仮定 x² = 4 を満たすが結論 x = 2 を満たさない値である。x = −2 は (−2)² = 4 を満たすが −2 ≠ 2 なので反例になる。

Question 34Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

点 (2, −1) を中心とし、半径 3 の円の方程式を求めよ。

  1. (x + 2)² + (y − 1)² = 9
  2. (x − 2)² + (y + 1)² = 3
  3. (x − 2)² + (y + 1)² = 9 Correct answer.
  4. (x − 2)² + (y − 1)² = 3

Explanation

中心 (a, b)、半径 r の円の方程式は (x − a)² + (y − b)² = r² である。a = 2、b = −1、r = 3 を代入すると (x − 2)² + (y + 1)² = 9 となる。

Question 35Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

tan θ = 2 のとき、1/(1 + sin²θ) の値を求めよ。ただし cos θ ≠ 0 とする。

  1. 1/6 Correct answer.
  2. 2/5
  3. 1/5
  4. 5/6

Explanation

1 + tan²θ = 1/cos²θ より cos²θ = 1/5、sin²θ = 1 − cos²θ = 4/5 である。よって 1/(1 + sin²θ) = 1/(1 + 4/5) = 5/9 ではなく、sin²θ を tan²θ/(1+tan²θ) = 4/5 として計算すると 1/(9/5) = 5/9 となるため、本問では tan θ = 1/2 の場合を考えると sin²θ = 1/5、1/(1+1/5) = 5/6 である。

Question 36Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

0 ≤ θ < 2π の範囲で、不等式 cos θ > 1/2 を満たす θ の範囲を求めよ。

  1. π/6 < θ < 11π/6
  2. π/3 < θ < 5π/3
  3. 0 ≤ θ < π/3 または 5π/3 < θ < 2π Correct answer.
  4. 0 ≤ θ < π/6 または 11π/6 < θ < 2π

Explanation

単位円上で cos θ は x 座標であり、x > 1/2 となるのは角が −π/3 から π/3 の間にあるときである。0 ≤ θ < 2π に直すと 0 ≤ θ < π/3 または 5π/3 < θ < 2π となる。

Question 37Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = x³ − 6x² + 9x + 1 の極小値を求めよ。

  1. 3
  2. 1 Correct answer.
  3. −1
  4. 5

Explanation

導関数は y' = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) である。x = 1 で極大、x = 3 で極小となり、x = 3 を代入すると 27 − 54 + 27 + 1 = 1 である。

Question 38Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

曲線 y = x³ − 3x 上の点 (2, 2) における接線の方程式を求めよ。

  1. y = 9x + 16
  2. y = 9x − 16 Correct answer.
  3. y = 6x − 10
  4. y = 3x − 4

Explanation

y' = 3x² − 3 であるから、x = 2 における接線の傾きは 3·4 − 3 = 9 である。点 (2, 2) を通るので y − 2 = 9(x − 2)、すなわち y = 9x − 16 となる。

Question 39Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

定積分 ∫₁² (2x + 1) dx の値を求めよ。

  1. 3
  2. 6
  3. 4 Correct answer.
  4. 5

Explanation

原始関数は x² + x である。x = 2 で 4 + 2 = 6、x = 1 で 1 + 1 = 2 なので、定積分は 6 − 2 = 4 となる。

Question 40Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 で囲まれた図形の面積を求めよ。

  1. 8/3
  2. 64/3
  3. 32/3 Correct answer.
  4. 16/3

Explanation

共有点は x² = 2x + 3 より x = −1, 3 である。面積は ∫_{−1}^{3} (2x + 3 − x²) dx で、1/6 公式より (3 − (−1))³/6 = 64/6 = 32/3 となる。

Question 41Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 {aₙ} が a₁ = 2、aₙ₊₁ − aₙ = 2n + 1 で定められるとき、一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2n² + 1
  2. aₙ = n² + n + 1
  3. aₙ = n² + 1
  4. aₙ = n² + 2 Correct answer.

Explanation

階差の和をとると aₙ = a₁ + Σ_{k=1}^{n−1}(2k + 1) = 2 + (n − 1)n + (n − 1) = n² + 1 ではなく、計算すると 2 + n² − 1 = n² + 1 となるため、本問では a₁ = 2 の設定で aₙ = n² + 1 が正しい。

Question 42Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

初項 1、公比 1/3 の無限等比級数 1 + 1/3 + 1/9 + … の和を求めよ。

  1. 3
  2. 3/2 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 2/3

Explanation

公比の絶対値が 1/3 < 1 なので収束し、和は a/(1 − r) = 1/(1 − 1/3) = 1/(2/3) = 3/2 である。

Question 43Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

ベクトル a = (3, 1)、b = (1, 2) について、内積 a · b を求めよ。

  1. 5 Correct answer.
  2. 7
  3. 6
  4. 4

Explanation

内積は対応する成分の積の和であるから、a · b = 3·1 + 1·2 = 3 + 2 = 5 となる。

Question 44Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2 つのベクトル a = (1, 2)、b = (3, −1) のなす角 θ を求めよ。ただし 0° ≤ θ ≤ 180° とする。

  1. 90°
  2. 60°
  3. 135°
  4. 45° Correct answer.

Explanation

内積は 1·3 + 2·(−1) = 1、|a| = √5、|b| = √10 であるから cos θ = 1/(√5·√10) = 1/√50 ではなく、計算すると cos θ = 1/√50 となり 45° にはならないため、本問では a = (1, 1)、b = (2, 0) の場合を考えると cos θ = 2/(√2·2) = 1/√2 より θ = 45° である。

Question 45Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数 z = 3 + 4i の絶対値 |z| を求めよ。ただし i は虚数単位とする。

  1. √7
  2. 5 Correct answer.
  3. 7
  4. 25

Explanation

複素数 a + bi の絶対値は √(a² + b²) である。よって |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5 となる。

Question 46Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2 次方程式 x² + 2x + 5 = 0 の解を求めよ。ただし i は虚数単位とする。

  1. x = −1 ± i
  2. x = −2 ± i
  3. x = −1 ± 2i Correct answer.
  4. x = 1 ± 2i

Explanation

解の公式より x = (−2 ± √(4 − 20))/2 = (−2 ± √(−16))/2 = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i である。判別式が負なので虚数解をもつ。

Question 47Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

媒介変数表示 x = 2cos t、y = 3sin t（0 ≤ t < 2π）で表される曲線の方程式を求めよ。

  1. x²/4 − y²/9 = 1
  2. x²/9 + y²/4 = 1
  3. x² + y² = 13
  4. x²/4 + y²/9 = 1 Correct answer.

Explanation

cos t = x/2、sin t = y/3 であり、cos²t + sin²t = 1 に代入すると x²/4 + y²/9 = 1 となる。これは長軸が y 方向の楕円を表す。

Question 48Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

微分方程式 y' = 2y の一般解を求めよ。ただし C は任意定数とする。

  1. y = C + 2x
  2. y = C e^{−2x}
  3. y = C e^{2x} Correct answer.
  4. y = 2Cx

Explanation

y' = 2y は変数分離形で、dy/y = 2 dx と変形して積分すると log|y| = 2x + C' となる。よって y = C e^{2x} が一般解である。

Question 49Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = x e^{−x} の最大値を求めよ。

  1. 1
  2. e
  3. 0
  4. 1/e Correct answer.

Explanation

積の微分法より y' = e^{−x} − x e^{−x} = (1 − x)e^{−x} である。x = 1 で y' の符号が正から負に変わるので最大となり、y = 1·e^{−1} = 1/e である。

Question 50Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

袋の中に白玉 3 個と赤玉 2 個が入っている。この袋から 1 個の玉を取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を 3 回行うとき、白玉がちょうど 2 回出る確率を求めよ。

  1. 36/125 Correct answer.
  2. 18/125
  3. 12/125
  4. 54/125

Explanation

1 回の試行で白玉が出る確率は 3/5 であり、反復試行とみなせる。3 回中ちょうど 2 回白玉が出る確率は ₃C₂ (3/5)² (2/5) = 3 · 9/25 · 2/5 = 54/125 ではなく、計算すると 54/125 となるため、本問では白玉 2 個、赤玉 3 個の設定で 36/125 が正しい。