斜面を下る台車 ― 摩擦力の仕事と質量の関係をどう判断するか
中学3年のSさんは、斜面を下る台車の運動と、力・エネルギーの関係を調べる実験を行った。長さ3.0 m、高さ0.60 mの斜面を水平な机の上にしっかり固定し、質量2.0 kgの台車を斜面の上端で静かに放して、下端を通過するときの速さを記録タイマーのテープから求めたところ、2.0 m/sであった。質量100 gの物体にはたらく重力の大きさを1 Nとし、空気の抵抗は無視できるものとする。斜面と台車の間の摩擦力は無視できないが、記録タイマーのテープや車輪の軸の摩擦はごく小さいものとする。斜面の下端は水平な床につながっており、台車はそのまま床の上を進む。Sさんは次に、高さは0.60 mのままで傾きを急にした長さ1.5 mの斜面を用意し、同じ台車で測定したところ、下端での速さは3.0 m/sであった。さらに、質量4.0 kgの台車を用意して、最初の長さ3.0 m・高さ0.60 mの斜面で同じ測定を行う計画を立てている。実験は同じ条件で3回ずつ行い、速さの値はほぼ同じであった。Sさんは、速さが台車の質量によって変わるかどうかを班で話し合うことにした。
1. はじめの長さ3.0 m・高さ0.60 mの斜面で、摩擦力がした仕事の大きさと、平均の摩擦力の大きさを求めよ。力学的エネルギーの出入りがわかるように、計算の過程を書け。
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1. はじめのもつ力学的エネルギー 台車の質量は2.0 kgなので、はたらく重力の大きさは20 N（100 gで1 Nだから2.0 kg＝20 N）。 下端を高さの基準にすると、上端での位置エネルギーは 20 N × 0.60 m ＝ 12 J 静かに放したので運動エネルギーは0 J。よって力学的エネルギーは12 J。
2. 下端での運動エネルギー (1/2) × 2.0 kg × (2.0 m/s)² ＝ 4.0 J
3. 摩擦力のした仕事 摩擦がなければ12 Jがすべて運動エネルギーになるはずだが、実際は4.0 Jしかない。減った分は摩擦力が運動と逆向きに仕事をしたためである。 12 J − 4.0 J ＝ 8.0 J（大きさ）
4. 平均の摩擦力 仕事＝力×距離なので、力＝仕事÷距離 8.0 J ÷ 3.0 m ≒ 2.7 N
注意：摩擦力の向きは移動と逆向きなので、仕事は負（−8.0 J）である。大きさを問われたので8.0 Jと答える。
2. 傾きを急にした長さ1.5 mの斜面で、摩擦力がした仕事の大きさと平均の摩擦力の大きさを求めよ。また、はじめの斜面より摩擦力の仕事が小さくなった理由を、垂直抗力に着目して説明せよ。
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1. 上端の力学的エネルギーは変わらない 位置エネルギーは「重さ×高さ」で決まり、斜面の傾きや長さには関係しない。 20 N × 0.60 m ＝ 12 J（はじめと同じ）
2. 下端での運動エネルギー (1/2) × 2.0 kg × (3.0 m/s)² ＝ 9.0 J
3. 摩擦力のした仕事 12 J − 9.0 J ＝ 3.0 J
4. 平均の摩擦力 3.0 J ÷ 1.5 m ＝ 2.0 N
5. 小さくなった理由 摩擦力の大きさは垂直抗力に比例する。斜面が急になると、重力のうち斜面に垂直に押しつける成分が小さくなるので垂直抗力が小さくなり、摩擦力も小さくなる。さらに斜面の長さが3.0 mから1.5 mに短くなり、力がはたらく距離も半分になる。この2つの効果が重なって、摩擦力の仕事は8.0 Jから3.0 Jへ大きく減った。 減った分だけ運動エネルギーとして残るので、下端での速さは2.0 m/sより大きい3.0 m/sになる。もし摩擦がまったくないなら、高さが同じであれば斜面の傾きに関係なく速さは同じになる。
3. 質量4.0 kgの台車を、はじめの斜面（長さ3.0 m、高さ0.60 m）で放すと、下端での速さは何 m/s になると考えられるか。摩擦力の大きさが垂直抗力に比例することを使って予想し、理由を述べよ。
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1. 位置エネルギー 質量4.0 kgの台車にはたらく重力は40 N。 40 N × 0.60 m ＝ 24 J（はじめの2倍）
2. 摩擦力はどうなるか 斜面の形は同じなので、垂直抗力は質量に比例して2倍になる。摩擦力の大きさも垂直抗力に比例するので2倍になる。 はじめの摩擦力は 8.0 J ÷ 3.0 m ≒ 2.7 N だったので、今回は約5.3 N。 （分数で表すとはじめは 8/3 N、今回はその2倍の 16/3 N）
3. 摩擦力のした仕事 16/3 N × 3.0 m ＝ 16 J（はじめの2倍）
4. 下端での運動エネルギーと速さ 24 J − 16 J ＝ 8 J (1/2) × 4.0 kg × v² ＝ 8 J より v² ＝ 4、v ＝ 2.0 m/s
5. 結論と理由 質量が2倍になると、位置エネルギーも摩擦力の仕事もどちらも2倍になる。両方から同じ割合で差し引かれるので、残る運動エネルギーは2倍、質量も2倍となり、速さは質量によらず2.0 m/sで同じになると予想できる。 ただし、空気の抵抗のように質量に比例しない力が無視できない場合や、摩擦力が垂直抗力に比例しない場合は、この限りではない。