斜面を下る台車の記録テープ - 加速度が一定かどうかをデータで判断する
山口県内の中学校の理科室で、力学台車を長さ1.5 m、角度15°の斜面の上端に置き、1秒間に10回打点する記録タイマーにつないだ記録テープを取って、静かに手を離して斜面を下らせた。テープを0.1秒ごとに区切って打点間の距離を測ると、順に2.0 cm、3.5 cm、5.0 cm、6.5 cm、8.0 cm、そして最後の区間だけ8.6 cmであった。台車の質量は500 gである。記録タイマーの打点間隔が正確であることは、あらかじめ確かめてある。話し合いで、Aさんは「最後の8.6 cmは前の8.0 cmより長いので、台車はますます速くなった」と言い、Bさんは「最後だけのびが小さいのは、斜面の終わりで摩擦が大きくなったか、測定の誤差のせいだ」と言った。さらに、台車に500 gのおもりを載せて同じ斜面を下らせると、打点間の距離はどの区間でもほぼ同じ値になった。斜面と台車の間の摩擦力は垂直抗力に比例すると考えてよい。また、別の班が斜面の角度を20°にして同じ台車を下らせると、打点間の距離は1区間ごとに約2.3 cmずつ増えていった。実験室の気温は22 ℃で、斜面の材質と台車の車輪は変えていない。
1. 最初の5区間のデータから、台車の加速度は一定とみなせるか。数値を用いて判断せよ。また、Aさんの考え方はどこが誤りか。
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各区間の平均速度は 距離÷0.1秒 で求められる。
- 2.0 cm → 0.20 m/s
- 3.5 cm → 0.35 m/s
- 5.0 cm → 0.50 m/s
- 6.5 cm → 0.65 m/s
- 8.0 cm → 0.80 m/s
0.1秒ごとに0.15 m/sずつ速さが増えているので、加速度は 0.15÷0.1 = 1.5 m/s² で一定とみなせる。
最後の区間は8.6 cm → 0.86 m/s。一定の加速度が続くなら次の速度は0.80+0.15 = 0.95 m/s（9.5 cm）になるはずである。実際は0.86 m/sで、のびは小さくなっている。つまり台車は「ますます速く」なったのではなく、加速のしかたが鈍った（減速した）と考えられる。
Aさんの誤りは、直前の区間とだけ比べて「速さが増した＝加速が続いている」と判断した点にある。速さが増えていても、加速度が一定であるとは限らない。
2. おもりを載せて質量を2倍にしても打点間の距離が変わらなかった理由を、斜面方向にはたらく力に注目して説明せよ。ただし摩擦は垂直抗力に比例するものとする。
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斜面方向にはたらく力は、重力の斜面方向の成分 mg sinθ と、それに逆向きの摩擦力 μmg cosθ である。合力は mg(sinθ − μcosθ) なので、運動の法則から加速度は
a = g(sinθ − μcosθ)
となり、質量 m が式から消える。質量が2倍になると、重力の成分も垂直抗力（したがって摩擦力）も2倍になるため、加速度は変わらない。だから打点間隔も同じになる。
「重いものほど速く落ちる」という考えは、空気抵抗や摩擦が質量に比例して増えない場合の話であり、この実験の結果とは矛盾しない。
3. 20°の斜面のデータから加速度を求め、15°のときの値と比べて、斜面の角度と加速度の関係についてわかることを述べよ。
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1区間（0.1秒）あたり距離が2.3 cm増えるので、速さは0.23 m/sずつ増える。よって加速度は 0.23÷0.1 = 2.3 m/s² である。15°のときの1.5 m/s²より大きい。
ここで、sin15° = 0.259、sin20° = 0.342 で、その比は約1.32倍である。一方、加速度の比は 2.3÷1.5 ≈ 1.53倍で、sinの比より大きい。
これは、摩擦力の項 μcosθ が角度を大きくするとわずかに小さくなる（cos20° < cos15°）ためである。したがって、加速度は角度が大きいほど大きくなるが、単純に sinθ に比例するのではなく、摩擦の影響のぶんだけ sin の比より大きく増える。