Clôture le long de la rivière : optimiser sous contraintes
Une coopérative maraîchère de l'île d'Anjouan dispose de 60 mètres de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire bordé par une rivière. Le côté longeant la rivière n'a pas besoin de clôture, mais il faut laisser une bande de 2 mètres depuis la rive pour éviter l'érosion : cette bande n'est pas cultivable et ne compte pas dans la surface utile. La coopérative veut une surface utile maximale, mais le règlement communal impose une largeur (côté perpendiculaire à la rivière) d'au moins 12 mètres pour permettre le passage d'une brouette, et la surface utile doit atteindre au moins 350 m² pour rentabiliser les semences. Le trésorier propose de choisir une largeur de 15 mètres, affirmant que c'est forcément le meilleur compromis. Le président demande une vérification avant l'achat des plants.
1. Écrire la surface utile S en fonction de la largeur x, en explicitant la longueur clôturée. Préciser le domaine de définition de x compte tenu des contraintes.
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Je note x la largeur totale du terrain perpendiculairement à la rivière, en mètres. Le grillage couvre deux largeurs et une seule longueur L : 2x + L = 60, donc L = 60 - 2x. La bande inculte de 2 m le long de la rivière réduit la largeur utile à x - 2, et non la longueur. La surface utile est donc S(x) = (x - 2)(60 - 2x).
Contraintes : x ≥ 12 ; L > 0 donc x < 30 ; S(x) ≥ 350. En développant, S(x) = -2x² + 64x - 120. Le domaine utile est donc x ∈ [12 ; 30[, sous réserve de vérifier S(x) ≥ 350.
2. Le trésorier affirme que 15 m est le meilleur choix. Calculer S(15) et S(16), puis répondre avec un argument mathématique.
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S(15) = (15 - 2)(60 - 30) = 13 × 30 = 390 m². S(16) = (16 - 2)(60 - 32) = 14 × 28 = 392 m².
La fonction S est un trinôme du second degré de coefficient -2 < 0 : son maximum est atteint au sommet x = -b/(2a) = -64/(-4) = 16 m. Le choix de 15 m est réalisable et proche de l'optimum, mais il n'est pas optimal : on gagne 2 m² avec 16 m. Il ne faut pas conclure à partir d'un seul essai ; il faut calculer le sommet ou comparer les valeurs de part et d'autre.
3. Déterminer l'intervalle des largeurs qui satisfont toutes les contraintes, puis indiquer si la largeur de 12 m est acceptable.
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Résolvons S(x) ≥ 350 : -2x² + 64x - 120 ≥ 350, soit -2x² + 64x - 470 ≥ 0, ou encore x² - 32x + 235 ≤ 0. Le discriminant est 32² - 4×235 = 1024 - 940 = 84 ; les racines sont (32 ± √84)/2 ≈ 11,42 et 20,58. Le trinôme est négatif entre les racines. Avec x ≥ 12, l'intervalle est [12 ; 20,58].
La largeur de 12 m est donc acceptable : S(12) = 10 × 36 = 360 m², supérieur à 350 m². Toute largeur de 12 m à environ 20,6 m respecte les contraintes ; 16 m reste le meilleur choix. À x = 20,58 m, la surface est limite ; au-delà, la contrainte de 350 m² n'est plus tenue.