적분 함수의 최댓값 - 극값만 본 풀이와 끝점만 본 풀이
○○고 3학년 수학 스터디에서 다음 문제로 답이 갈렸다. '함수 f(x)=∫₀ˣ(t-1)(t-3)dt (0≤x≤4)에 대하여 (가) f(x)의 최댓값을 구하고, (나) 방정식 f(x)=k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오.' 김 학생은 f'(x)=(x-1)(x-3)이므로 x=1에서 극대, x=3에서 극소라 하고 f(1)=4/3, f(3)=0을 계산해 (가)의 답을 4/3, (나)의 답을 0<k<4/3이라 적었다. 박 학생은 "김 학생의 계산은 맞지만 (가)의 근거가 부족하다"며 f(4)를 추가로 계산해 4/3임을 확인했다. 이 학생은 "구간이 닫혀 있으니 양 끝점만 확인하면 된다"며 f(0)=0, f(4)=4/3만 계산해 최댓값을 4/3, (나)의 답을 0≤k≤4/3이라 적었다. 세 사람 모두 답안지에 옮길 답을 하나씩만 고르라 하자 서로 다른 답을 제출했다. 이 시험은 서술형 5점 배점이고 채점 기준에 '근거 제시'가 포함되어 있으며, 답만 맞고 과정이 없으면 득점할 수 없다.
1. f'(x)를 구하고 증감표를 만들어, 폐구간 [0, 4]에서 f(x)의 최댓값과 최솟값을 그 값을 갖는 x의 값과 함께 제시하시오.
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f(x)=∫₀ˣ(t²-4t+3)dt=x³/3-2x²+3x이고, 미적분의 기본정리에 의해 f'(x)=(x-1)(x-3)이다.
증감표: x<1에서 f'＞0(증가), 1<x<3에서 f'＜0(감소), x>3에서 f'＞0(증가). 따라서 x=1은 극대, x=3은 극소다.
값 계산: f(0)=0, f(1)=1/3-2+3=4/3, f(3)=9-18+9=0, f(4)=64/3-32+12=4/3.
폐구간에서 연속인 함수는 최대·최소를 가지므로, 후보는 극값을 주는 점과 양 끝점이다. 비교하면 최댓값 4/3(x=1, x=4), 최솟값 0(x=0, x=3)이다.
핵심은 최댓값을 갖는 x가 두 개라는 점이다. 극대인 x=1에서만 최댓값이 나온다고 쓰면 x=4를 놓친 불완전한 서술이 되고, 반대로 끝점인 x=4에서만 나온다고 쓰면 우연히 값이 같아 맞은 것처럼 보일 뿐 논리가 무너진다.
2. 김·박·이 학생의 주장을 각각 판정하고, '(가)는 극값만 확인해도 충분하다' 또는 '(가)는 끝점만 확인해도 충분하다'는 주장이 왜 일반적으로 성립하지 않는지 설명하시오.
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김 학생: (가)의 답 4/3은 결과적으로 옳고 (나)의 답 0<k<4/3도 옳다. 그러나 (가)의 풀이는 극값만 확인하고 f(0), f(4)를 비교하지 않아 근거가 닫히지 않았다. 이 문제에서는 f(4)=4/3로 우연히 같았기 때문에 감점을 면하기 어렵다.
박 학생: 지적이 타당하다. 폐구간에서 연속인 함수의 최대·최소는 극값 후보와 양 끝점을 모두 비교해 결정해야 한다.
이 학생: 결론이 틀렸다. 첫째, '닫힌 구간이면 끝점만 본다'는 정리는 존재하지 않는다. 만약 f(1)=2였다면 최댓값은 끝점에서 나오지 않는다. 둘째, (나)의 답 0≤k≤4/3은 경계에서 무너진다. k=4/3이면 f(x)=4/3의 근은 x=1(접점)과 x=4로 서로 다른 두 값이고, k=0이면 근은 x=0과 x=3(중근)으로 역시 두 값이다. 따라서 '서로 다른 세 실근'이 되지 않으므로 범위는 0<k<4/3으로 열려 있어야 한다.
일반 원칙: 극값만 보면 끝점에서 생기는 최대·최소를 놓치고, 끝점만 보면 내부의 극값을 놓친다. 두 후보군을 항상 함께 비교해야 한다.
3. 위 학생들의 답안을 채점한다면 (가)와 (나)에 각각 몇 점을 주겠는가. 5점 배점과 '근거 제시' 기준을 적용해 판단하시오.
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배점을 (가) 2점, (나) 3점으로 나눈다고 가정하면 다음과 같이 판정할 수 있다.
- 김 학생: (가) 1점 - 답은 맞지만 끝점 비교가 없어 근거가 불완전하다. (나) 3점 - 범위와 그 근거(증감표)가 모두 제시되었다.
- 박 학생: (가) 2점 - 극값과 끝점을 모두 비교한 유일한 풀이이며, f(4)를 직접 계산해 x=1과 x=4가 동시에 최댓값을 준다는 사실까지 확인했다. (나)는 별도 서술이 없으므로 미기재로 처리한다.
- 이 학생: (가) 1점 - 답은 맞으나 '끝점만 확인하면 된다'는 잘못된 근거를 명시했으므로 근거 점수를 줄 수 없다. (나) 0점 - 경계값 포함 여부가 틀려 답 자체가 오답이다.
판정 기준은 '답의 일치'가 아니라 '후보를 빠짐없이 열거했는가'이다. 이 문제처럼 최댓값을 주는 x가 둘인 경우, 값을 하나만 적었는지도 감점 사유가 된다.