Clôturer le potager : contrainte de sécurité contre optimum mathématique
Le foyer socio-éducatif d'un lycée veut installer un potager clôturé le long du mur du gymnase. Le mur sert de côté gratuit ; la clôture couvre les deux largeurs et la longueur. L'aire doit être de 48 m². Le grillage coûte 12 €/m pour chaque largeur et 8 €/m pour la longueur. Le service technique impose une largeur d'au moins 5 m pour laisser passer une brouette motorisée, et un portillon de 3 m sur la longueur. Le trésorier a voté un budget de 190 €. Un élève annonce avoir trouvé l'optimum en annulant la dérivée du coût : il propose une largeur de 4 m et un coût de 192 €. La documentaliste signale que 4 m est inférieur à la contrainte de sécurité. Le conseil doit décider s'il réduit l'aire, s'il cherche un autre mur ou s'il demande une dérogation.
1. Exprimez le coût C(w) en fonction de la largeur w, puis déterminez l'optimum sans contrainte.
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Soit w la largeur et l la longueur. L'aire impose l = 48/w. La clôture comprend deux largeurs (2w) à 12 €/m et une longueur (l) à 8 €/m :
C(w) = 2 × 12 × w + 8 × (48/w) = 24w + 384/w, avec w > 0.
Dérivée : C'(w) = 24 − 384/w². Elle s'annule quand 24w² = 384, soit w² = 16, donc w = 4 m (la racine négative est exclue).
C''(w) = 768/w³ > 0 pour w > 0 : il s'agit bien d'un minimum. Alors l = 48/4 = 12 m et C(4) = 96 + 96 = 192 €.
L'élève a donc correctement calculé l'optimum mathématique, mais cet optimum viole la contrainte w ≥ 5 m : il n'est pas réalisable.
2. Déterminez le coût minimal sous la contrainte w ≥ 5 m. Le budget de 190 € est-il respecté ?
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Étudions C sur [5 ; +∞[. Pour w ≥ 5, C'(w) = 24 − 384/w². À w = 5, C'(5) = 24 − 15,36 = 8,64 > 0. Comme w² augmente, 384/w² diminue et C'(w) reste positive sur tout l'intervalle. La fonction est donc croissante sur [5 ; +∞[ : le minimum contraint est atteint à la borne w = 5 m.
Alors l = 48/5 = 9,6 m, ce qui respecte le portillon de 3 m. Coût : C(5) = 24 × 5 + 8 × 9,6 = 120 + 76,80 = 196,80 €.
Le budget de 190 € n'est pas respecté : il manque 6,80 €. Le raisonnement montre l'erreur classique consistant à garder le point critique w = 4 sans vérifier le domaine de validité : ici, la contrainte est active et le choix se fait à la frontière.
3. Avec un budget bloqué à 190 € et w ≥ 5 m, quelle aire maximale peut-on clôturer ? Justifiez que le maximum est bien atteint à la borne.
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Pour une aire A et une largeur w, C(w) = 24w + 8A/w. À la borne w = 5 : C = 120 + 8A/5 ≤ 190, donc 8A/5 ≤ 70, soit A ≤ 43,75 m².
Vérifions qu'aucune solution avec w > 5 ne permet une aire supérieure à budget égal. Pour A fixée, C'(w) = 24 − 8A/w² s'annule à w = √(A/3). Pour A = 43,75 m², w* = √14,58 ≈ 3,82 m, valeur inférieure à 5. Sur [5 ; +∞[, le coût est donc croissant et le minimum est à w = 5. Le maximum d'aire est bien atteint à la borne.
Conclusion : l'aire maximale est de 43,75 m², soit une perte de 4,25 m² par rapport au projet initial. Le conseil peut soit accepter cette réduction, soit demander un complément de 6,80 €, soit déplacer le potager le long d'un autre mur plus long, ce qui modifierait le rapport entre largeur et longueur.