Prélèvement qualité, intervalle de confiance et décision d'arrêt de ligne
Une unité de conditionnement d'eau minérale à Meknès contrôle le taux de bouteilles non conformes (sous-remplissage). Le cahier des charges du distributeur plafonne ce taux à 5 %. Un prélèvement aléatoire de 400 bouteilles, réalisé sur une seule ligne (ligne 2, équipe de nuit), révèle 32 bouteilles hors norme. Le responsable qualité propose deux lectures opposées : « 8 % contre 5 %, l'écart est énorme, on arrête la ligne » et « 32 sur 400, ce n'est qu'un échantillon, l'écart peut n'être que du bruit ». Un arrêt de ligne coûte 18 000 DH par heure, et une heure suffit à réaliser le réglage. Un lot non conforme livré au distributeur expose à une reprise complète estimée à 260 000 DH. La direction veut une décision avant la fin du poste, soit dans deux heures. Aucun autre prélèvement n'a été réalisé sur les six derniers mois, et la ligne 2 produit 40 % du volume total de l'usine.
1. Construisez un intervalle de confiance à 95 % pour le taux de non-conformité de la ligne 2 et interprétez-le par rapport à la norme de 5 %.
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Estimation ponctuelle : p̂ = 32/400 = 0,08.
Erreur standard : σ = racine(0,08 × 0,92 / 400) = racine(0,000184) ≈ 0,01356.
Marge d'erreur à 95 % : 1,96 × 0,01356 ≈ 0,0266.
Intervalle : [0,08 - 0,0266 ; 0,08 + 0,0266] = [0,0534 ; 0,1066], soit 5,3 % à 10,7 %.
Interprétation : la borne basse (5,3 %) dépasse déjà la norme de 5 %. Autrement dit, même dans l'hypothèse la plus favorable compatible avec l'échantillon, la ligne 2 reste au-dessus du cahier des charges. La lecture « ce n'est que du bruit » est donc réfutée par l'intervalle lui-même : le bruit d'échantillonnage est d'environ ±2,7 points, pas de nature à ramener 8 % sous 5 %.
Réserve de méthode : cet intervalle ne décrit que la ligne 2 en équipe de nuit, pas l'usine.
2. Testez formellement H0 : p = 0,05 contre H1 : p > 0,05 au seuil de 5 %. Que peut-on conclure, et que ne peut-on pas conclure ?
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Écart observé : 0,08 - 0,05 = 0,03.
Erreur standard sous H0 : σ0 = racine(0,05 × 0,95 / 400) = racine(0,00011875) ≈ 0,01090.
Statistique : z = 0,03 / 0,01090 ≈ 2,75.
Seuil critique unilatéral à 5 % : 1,645. Comme 2,75 > 1,645, on rejette H0 ; la p-value unilatérale est d'environ 0,003, donc le rejet tient aussi au seuil de 1 %.
Ce que l'on peut conclure : le taux de non-conformité de la ligne 2, équipe de nuit, dépasse significativement 5 % ; l'écart n'est pas attribuable au hasard d'échantillonnage.
Ce que l'on ne peut pas conclure : (1) que l'usine entière est à 8 %, car l'échantillonnage n'est ni aléatoire au niveau de l'usine ni stratifié par ligne et par équipe ; (2) que le procédé est « hors contrôle » au sens statistique strict, faute de carte de contrôle et d'historique ; (3) que le taux restera à 8 % après réglage. La significativité dit qu'il y a un signal, pas qu'il est stable ni généralisable.
3. Recommandez une décision opérationnelle en comparant les coûts, puis critiquez le dispositif de mesure.
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Comparaison des coûts : arrêter et régler coûte 18 000 DH, de façon certaine. Continuer et livrer un lot non conforme coûte 260 000 DH, avec une probabilité élevée compte tenu du test (p ≈ 0,003). L'espérance de perte en continuant est de l'ordre de 0,95 × 260 000 ≈ 247 000 DH, soit près de quatorze fois le coût du réglage. La décision est donc arrêter et régler immédiatement, sans attendre : le coût de l'erreur par excès de prudence est dérisoire au regard du coût de l'erreur par excès de confiance.
Critique du dispositif : un échantillon unique, sur une seule ligne et une seule équipe, ne permet aucune extrapolation à l'usine ; la ligne 2 ne représente que 40 % du volume. Il faut un plan d'échantillonnage stratifié (par ligne et par équipe), avec une taille minimale par strate, et surtout reconstituer un historique : six mois sans prélèvement signifient que l'entreprise pilote sa qualité sans mesure, ce qui est le vrai risque de fond, au-delà du lot du jour.