Mathématiques et statistiques appliquées
Le domaine Mathématiques et statistiques appliquées vérifie la maîtrise des fonctions, du calcul différentiel, des probabilités et de la statistique descriptive. Les questions sont souvent contextualisées : coût, recette, marge, enquête, série d’observations.
Outils indispensables
- Dérivation : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = 1/x$ ; dériver une somme terme à terme.
- Optimisation : annuler la dérivée première, puis vérifier le signe de la dérivée seconde.
- Statistiques : moyenne, médiane, écart-type, coefficient de variation $CV = \sigma/\bar{x}$ ; la médiane résiste mieux aux valeurs extrêmes.
- Probabilités : $P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ ; indépendance si $P(A \cap B)=P(A)P(B)$.
- Corrélation : un coefficient proche de 1 ou −1 indique une association linéaire, pas une causalité.
Exemple d’optimisation
Soit $R(q) = -2q^2 + 40q - 50$. Alors $R'(q) = -4q + 40$. $R'(q)=0$ donne $q=10$. Comme $R''(q)=-4<0$, il s’agit d’un maximum. $R(10) = -200 + 400 - 50 = 150$. Le raisonnement complet exige dérivée, racine, condition du second ordre et calcul de la valeur.
Exemple statistique
Une série de salaires comporte un salaire très élevé. La moyenne est tirée vers le haut, tandis que la médiane reste proche du salaire typique. Conclusion : pour décrire le salaire « central », la médiane est souvent plus pertinente ; le CV permet de comparer la dispersion relative de deux séries d’unités différentes.
Pièges fréquents
- Oublier le domaine de définition ou une racine interdite.
- Confondre variance et écart-type, ou oublier la racine carrée.
- Utiliser une moyenne simple sur des groupes de tailles inégales.
- Interpréter une corrélation comme une causalité.
- Arrondir trop tôt et propager l’erreur jusqu’au résultat final.