Matemáticas y métodos numéricos para computación
Matemáticas y métodos numéricos evalúa el razonamiento formal (lógica, conjuntos, grafos, matrices) y la capacidad de elegir y ejecutar un método numérico con criterio de error y de convergencia.
Fundamentos discretos
Equivalencias útiles: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q; p → q ≡ ¬p ∨ q; la contrapositiva ¬q → ¬p es equivalente a la implicación. En grafos, Dijkstra trabaja con pesos no negativos y BFS con grafos no ponderados; Kruskal y Prim obtienen el árbol de expansión mínima. Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y particiona el conjunto. Complejidad típica: búsqueda binaria O(log n), ordenamientos por comparación O(n log n), multiplicación de matrices O(n³) con el algoritmo clásico.
Métodos numéricos
Bisección: requiere f continua y f(a)·f(b) < 0; el error está acotado por (b − a)/2^n y la convergencia es lineal. Newton-Raphson: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n), convergencia cuadrática, falla si f' ≈ 0. Interpolación de Lagrange, regla del trapecio (error O(h²)) y Simpson 1/3 (error O(h⁴), requiere número par de subintervalos). Euler y RK4 para ecuaciones diferenciales.
Ejemplo trabajado
f(x) = x² − 2 en [1, 2]. f(1) = −1 < 0 y f(2) = 2 > 0. Iteración 1: c = 1.5, f(1.5) = 0.25 > 0 → nuevo intervalo [1, 1.5]. Iteración 2: c = 1.25, f(1.25) = −0.4375 < 0 → [1.25, 1.5]. Cota de error tras 2 iteraciones: (2 − 1)/2² = 0.25; el punto medio es 1.375 y el error real frente a √2 ≈ 1.41421 es 0.039, dentro de la cota.
Errores que cuestan puntos
Aplicar bisección sin verificar el cambio de signo; reportar error relativo cuando se pide absoluto (|x − x*| frente a |x − x*| / |x|); usar Simpson con número impar de subintervalos; suponer que Newton siempre converge; confundir el orden de convergencia con el costo por iteración.