Contrôle qualité à la Société des Eaux du Fleuve : intervalle et test
L'unité de conditionnement de la Société des Eaux du Fleuve, à Niamey, remplit des bouteilles de 1,5 litre. Le service qualité prélève chaque jour un échantillon aléatoire de 100 bouteilles. Sur l'échantillon du lundi, la contenance moyenne est de 1,49 L avec un écart-type de 0,05 L. Le cahier des charges exige une moyenne de 1,50 L. Une nouvelle machine, testée sur 64 bouteilles, donne une moyenne de 1,505 L et un écart-type de 0,04 L. La direction veut savoir si la nouvelle machine est plus conforme que l'ancienne. Le responsable qualité propose de régler la machine pour viser 1,50 L, mais le directeur financier craint un surremplissage coûteux. Un contrôleur affirme que toute différence est forcément significative puisque les moyennes ne sont pas égales.
1. Construisez un intervalle de confiance à 95 % pour la contenance moyenne de l'ancienne machine et interprétez-le par rapport à la norme.
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Intervalle de confiance : marge d'erreur = 1,96 × (0,05/√100) = 1,96 × 0,005 = 0,0098 L. IC à 95 % = [1,49 − 0,0098 ; 1,49 + 0,0098] = [1,4802 ; 1,4998] L. Interprétation : on estime que la moyenne réelle est comprise entre 1,4802 et 1,4998 L. La norme de 1,50 L est juste au-dessus de la borne supérieure ; il y a donc un indice de sous-remplissage. Attention : l'intervalle ne dit pas que 95 % des bouteilles sont dans cet intervalle, mais que la moyenne a 95 % de chance d'y être dans le cadre fréquentiste. Un test formel serait préférable pour conclure.
2. Testez au seuil de 5 % l'hypothèse selon laquelle la nouvelle machine remplit en moyenne 1,50 L contre l'alternative bilatérale. Concluez.
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Hypothèses : H0 : μ = 1,50 L ; H1 : μ ≠ 1,50 L. Statistique : z = (1,505 − 1,50) / (0,04/√64) = 0,005 / 0,005 = 1,00. Décision : au seuil de 5 %, la valeur critique bilatérale est ±1,96. Comme 1,00 < 1,96, on ne rejette pas H0. La p-value approximative est 0,317. Conclusion : la différence de 0,005 L n'est pas statistiquement significative ; la nouvelle machine n'est pas démontrée plus conforme. Cela ne prouve pas qu'elle est exactement conforme : avec un échantillon plus grand, une petite différence pourrait devenir significative.
3. Expliquez au contrôleur pourquoi deux moyennes différentes ne prouvent pas une différence significative, et indiquez une conséquence pratique du choix du seuil.
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Pourquoi : les moyennes d'échantillon varient d'un tirage à l'autre. Le test compare la différence observée à l'erreur standard ; une différence de 5 ml peut être du bruit. Risques : rejeter H0 à tort (erreur de type I, ici 5 %) ou ne pas la rejeter alors qu'elle est fausse (type II). Conséquence pratique : régler la machine sur chaque écart apparent peut provoquer des surréglages et des arrêts coûteux. Il faut utiliser une carte de contrôle, augmenter la taille de l'échantillon ou fixer un seuil adapté au coût du surremplissage. Le choix du seuil est un compromis entre fausse alarme et défaut non détecté.