Renouvellement du parc de capteurs : seuil d'indifférence, budget et stock de rechange
Le service instrumentation d'un centre météorologique doit renouveler son parc de capteurs de visibilité. Deux fournisseurs ont répondu. L'offre A comporte un forfait d'installation de 4 500 000 FCFA et un prix unitaire de 120 000 FCFA par capteur. L'offre B, moins chère à l'installation (1 800 000 FCFA), facture 210 000 FCFA par capteur. Les capteurs sont identiques et les deux offres incluent la même garantie de trois ans. Le budget alloué, non révisable avant l'exercice suivant, est de 12 000 000 FCFA. Le chef de service estime le besoin à 55 capteurs répartis sur trois sites, chacun devant recevoir au moins 15 capteurs pour rester homogène. Une panne annuelle d'un capteur survient avec une probabilité de 0,02, indépendamment d'un capteur à l'autre ; le marché ne prévoit que deux capteurs de rechange. Le service doit présenter une note chiffrée justifiant le choix du fournisseur.
1. Déterminez le nombre de capteurs pour lequel les deux offres sont équivalentes, puis comparez-les pour le besoin de 55 capteurs.
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1. Mise en équations (en millions de FCFA, n = nombre de capteurs)
- C_A(n) = 4,5 + 0,12 n
- C_B(n) = 1,8 + 0,21 n
2. Seuil d'indifférence. C_A = C_B ⟺ 4,5 + 0,12 n = 1,8 + 0,21 n ⟺ 2,7 = 0,09 n ⟺ n = 30.
3. Interprétation. Pour n < 30, l'offre B est moins chère (le forfait d'installation de A n'est pas amorti) ; pour n = 30, égalité ; pour n > 30, l'offre A devient plus chère à l'installation mais nettement moins chère au total.
4. Application à n = 55.
- C_A(55) = 4,5 + 0,12 × 55 = 4,5 + 6,6 = 11,10 M FCFA.
- C_B(55) = 1,8 + 0,21 × 55 = 1,8 + 11,55 = 13,35 M FCFA. Écart : 2,25 M FCFA en faveur de A.
5. Contrôle budgétaire - c'est le point décisif. L'offre B à 13,35 M dépasse le budget de 12 M : elle est infaisable, indépendamment de son classement économique. L'offre A à 11,10 M laisse une marge de 0,90 M FCFA.
Conclusion. L'offre A est retenue. Attention à la formulation : on ne dit pas « A est moins chère » (faux en dessous de 30 capteurs), mais « A est la seule offre finançable pour 55 capteurs, et elle est en outre la moins chère à ce volume ».
2. Vérifiez la compatibilité du choix avec le budget et avec la contrainte de répartition sur trois sites.
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1. Capacité maximale de chaque offre sous 12 M FCFA.
- Offre A : n ≤ (12 − 4,5) ÷ 0,12 = 62,5 → 62 capteurs au maximum.
- Offre B : n ≤ (12 − 1,8) ÷ 0,21 = 48,57 → 48 capteurs au maximum.
2. Conséquence. Avec B, on plafonne à 48 capteurs, soit 7 de moins que le besoin : le parc serait incomplet et la garantie d'homogénéité rompue. Avec A, 55 capteurs sont finançables et il reste 0,90 M FCFA.
3. Contrainte de répartition. Trois sites × 15 capteurs minimum = 45 capteurs au minimum. 55 ≥ 45 : la contrainte est satisfaisable. Une répartition possible est 15 / 20 / 20, ou 19 / 18 / 18. Il faut noter que la contrainte ne fixe qu'un plancher : elle n'impose pas d'égalité, mais l'homogénéité des mesures milite pour des écarts faibles entre sites.
4. Emploi de la marge. Les 0,90 M FCFA restants ne suffisent pas pour 7 capteurs supplémentaires au prix de A (7 × 0,12 = 0,84 M), ce qui amènerait à 62 capteurs - mais le besoin exprimé est de 55, et le budget est non révisable. La marge est donc mieux employée en capteurs de rechange et en petit outillage d'étalonnage, ce qui prépare la question suivante.
5. Rigueur de la note. Il faut distinguer explicitement le critère économique (seuil de 30) du critère de faisabilité (plafond budgétaire) : les deux ne désignent pas le même fournisseur au même volume, et c'est la faisabilité qui tranche ici.
3. Évaluez le risque de rupture du stock de deux capteurs de rechange et proposez une décision.
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1. Modèle. Nombre de pannes X sur 55 capteurs indépendants, chacun avec p = 0,02 : X suit une loi binomiale B(55 ; 0,02). Espérance : E(X) = 55 × 0,02 = 1,1 panne par an.
2. Probabilité de rupture (plus de 2 pannes, donc X ≥ 3) :
- P(X = 0) = 0,98^55 ≈ 0,329
- P(X = 1) = 55 × 0,02 × 0,98^54 ≈ 0,369
- P(X = 2) = C(55,2) × 0,02² × 0,98^53 = 1 485 × 0,0004 × 0,343 ≈ 0,204
- Somme ≈ 0,902, donc P(X ≥ 3) ≈ 0,098, soit environ 10 %.
3. Lecture. Un capteur en stock pour une espérance de 1,1 panne serait insuffisant (P(X ≥ 2) ≈ 32 %). Deux rechanges ramènent le risque de rupture à ~10 % par an, soit une année sur dix où un site resterait sans capteur de remplacement pendant le délai de réapprovisionnement - délai non fourni, ce qui est en soi une lacune de la note.
4. Décision argumentée. Commander un troisième rechange avec l'offre A : 0,12 M FCFA, prélevé sur la marge de 0,90 M. Le risque de rupture passe alors à P(X ≥ 4) ≈ 0,02, soit ~2 % par an. Coût marginal faible, bénéfice de continuité de service élevé : c'est le raisonnement coût/risque attendu, pas un choix « au feeling ».
5. Réserve de méthode. L'hypothèse d'indépendance est simplificatrice : une surtension ou un événement de foudre peut faire tomber plusieurs capteurs simultanément, ce qui rendrait le modèle binomial optimiste. Il faut le signaler dans la note et plaider pour un stock légèrement supérieur au calcul.