Funktionale Abhängigkeit: Pachtmodell mit zwei Tarifen
Ein Landwirt pachtet eine Obstplantage. Tarif A verlangt eine fixe Grundpacht von 4.800 € pro Jahr plus 0,35 € pro verkauftem Kilogramm Obst. Tarif B verlangt keine Grundpacht, dafür 0,80 € pro Kilogramm. Der Landwirt erwartet eine Ernte zwischen 6.000 kg und 14.000 kg, ist sich aber unsicher. Zusätzlich fallen unabhängig vom Tarif Fixkosten von 2.200 € (Versicherung, Geräte) an. Der Landwirt möchte wissen, ab welcher Menge sich welcher Tarif lohnt, und ob ein dritter Tarif C (Grundpacht 1.500 €, 0,62 €/kg) jemals optimal sein kann.
1. Stelle die Kostenfunktionen A(x), B(x) und C(x) auf (x in kg, Kosten in €), berechne die Schnittpunkte und bestimme, welcher Tarif in welchem Mengenbereich am günstigsten ist.
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Die Fixkosten von 2.200 € sind in allen Tarifen gleich und verschieben die Schnittpunkte nicht – sie können zur Vereinfachung weggelassen und am Ende addiert werden.
- A(x) = 4.800 + 0,35x
- B(x) = 0,80x
- C(x) = 1.500 + 0,62x
Schnittpunkte:
- A = B: 4.800 + 0,35x = 0,80x → 4.800 = 0,45x → x ≈ 10.667 kg
- A = C: 4.800 + 0,35x = 1.500 + 0,62x → 3.300 = 0,27x → x ≈ 12.222 kg
- B = C: 0,80x = 1.500 + 0,62x → 0,18x = 1.500 → x ≈ 8.333 kg
Bereiche (ohne Fixkosten):
- bis 8.333 kg: B am günstigsten (keine Grundpacht).
- 8.333 bis 12.222 kg: C am günstigsten.
- ab 12.222 kg: A am günstigsten.
Prüfung bei 14.000 kg: A = 9.700 €, B = 11.200 €, C = 10.180 € → A bestätigt. Bei 6.000 kg: A = 6.900 €, B = 4.800 €, C = 5.220 € → B bestätigt.
2. Der Landwirt erwartet 9.000 kg. Berechne die Gesamtkosten inklusive Fixkosten für alle drei Tarife und beurteile, wie stark sich eine Ernte von 11.000 kg stattdessen auswirkt.
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Bei 9.000 kg (plus 2.200 € Fixkosten):
- A: 4.800 + 3.150 + 2.200 = 10.150 €
- B: 7.200 + 2.200 = 9.400 €
- C: 1.500 + 5.580 + 2.200 = 9.280 €
→ C ist knapp am günstigsten (120 € Vorsprung vor B).
Bei 11.000 kg:
- A: 4.800 + 3.850 + 2.200 = 10.850 €
- B: 8.800 + 2.200 = 11.000 €
- C: 1.500 + 6.820 + 2.200 = 10.520 €
→ C bleibt am günstigsten, Vorsprung wächst auf 330 € vor A.
Beurteilung: Im Bereich 8.333–12.222 kg ist C optimal, aber die Vorsprünge sind klein (Größenordnung 100–300 €). Bei einer Ernteschwankung von ±2.000 kg kippt die Rangfolge nicht, aber das Risiko liegt bei A: Erst ab 12.222 kg rentiert sich die hohe Grundpacht. Der Landwirt sollte C wählen, solange er unter 12.222 kg bleibt.
3. Tarif C hat eine Grundpacht von 1.500 € und 0,62 €/kg. Untersuche, für welchen Wert der Grundpacht C gerade nie optimal wäre, und erkläre die geometrische Bedeutung.
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C ist genau dann nie optimal, wenn seine Gerade in keinem Bereich unter beiden anderen liegt. Damit C zwischen B und A „durchpasst“, muss die Steigung von C zwischen denen von B (0,80) und A (0,35) liegen – das ist mit 0,62 erfüllt. Entscheidend ist die Lage der Grundpacht.
C wäre nie optimal, wenn der Schnittpunkt B–C rechts vom Schnittpunkt A–C läge, denn dann übernimmt A bereits, bevor C gegenüber B günstiger wird. Bedingung: 1.500/0,18 ≥ (4.800−1.500)/0,27, also 8.333 ≥ 12.222 – falsch. Für Optimalität muss also gelten: g/0,18 < (4.800−g)/0,27 → 0,27g < 864 − 0,18g → 0,45g < 864 → g < 1.920 €.
Bei g = 1.920 € fallen beide Schnittpunkte zusammen (x ≈ 10.667 kg): C berührt dann nur einen Punkt und ist in keinem Intervall strikt optimal. Geometrisch: Die C-Gerade schneidet die beiden anderen genau im selben Punkt, statt ein eigenes Intervall zu bilden.