Fachpraxis: Qualitätskontrolle einer Abfüllanlage
Eine Abfüllanlage füllt 500-ml-Flaschen. Die Maschine ist auf 502 ml Sollwert eingestellt; die Standardabweichung beträgt laut Hersteller 1,8 ml. Eine Stichprobe von 25 Flaschen ergibt einen Mittelwert von 500,4 ml. Der Kunde verlangt mindestens 500 ml pro Flasche (Füllmenge darf nicht darunter liegen) und akzeptiert höchstens 3 % Unterschreitungen. Ein Techniker schlägt vor, den Sollwert auf 504 ml zu erhöhen, um „auf der sicheren Seite“ zu sein. Die Geschäftsführung fragt nach den Kosten: 1 ml Mehrfüllung kostet pro 1.000 Flaschen 0,40 €.
1. Berechne mit der Normalverteilungsannahme (Mittelwert 500,4 ml, σ = 1,8 ml) den Anteil der Flaschen unter 500 ml und beurteile, ob die 3-%-Grenze eingehalten wird.
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Standardisierung: z = (500 − 500,4) / 1,8 = −0,4 / 1,8 ≈ −0,222.
Der Anteil unter 500 ml entspricht Φ(−0,222) ≈ 0,412, also rund 41 %.
Beurteilung: Die 3-%-Grenze wird massiv verfehlt – 41 % statt 3 %. Das ist plausibel: Der Mittelwert liegt nur 0,4 ml über der Grenze, während eine Standardabweichung 1,8 ml beträgt. Bei einer Normalverteilung liegen dann fast die Hälfte der Werte unter dem Mittelwert-nahen Grenzwert.
Hinweis zur Stichprobe: Der beobachtete Mittelwert 500,4 ml stammt aus n = 25. Der Standardfehler beträgt 1,8/√25 = 0,36 ml. Das ändert nichts an der Größenordnung des Problems: Selbst bei einem wahren Mittelwert von 501 ml wären es noch Φ(−0,556) ≈ 29 %.
2. Berechne den Sollwert, der bei σ = 1,8 ml gerade 3 % Unterschreitungen ergibt, und vergleiche die Mehrkosten mit dem Vorschlag des Technikers (504 ml).
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Gesuchter Sollwert μ: Es muss gelten Φ((500 − μ)/1,8) = 0,03. Der z-Wert für 3 % ist ≈ −1,881.
Also: (500 − μ)/1,8 = −1,881 → 500 − μ = −3,386 → μ ≈ 503,39 ml.
Vergleich der Mehrkosten (pro 1.000 Flaschen, 0,40 €/ml):
- Sollwert 503,39 ml: Mehrfüllung gegenüber 500 ml = 3,39 ml → 3,39 × 0,40 = 1,36 €.
- Vorschlag 504 ml: 4,00 ml → 1,60 €.
- Differenz: 0,24 € pro 1.000 Flaschen.
Beurteilung: Der Techniker liegt mit 504 ml nur leicht über dem statistisch notwendigen Wert (503,39 ml) und ist damit „auf der sicheren Seite“ – der Aufpreis ist klein (0,24 €/1.000 Flaschen). Allerdings: Bei hohen Stückzahlen (z. B. 10 Mio. Flaschen/Jahr) sind das 2.400 € pro Jahr für einen Sicherheitszuschlag von 0,61 ml. Sinnvoll ist 503,4 ml plus laufende Prozesskontrolle, nicht ein pauschaler Puffer.
3. Der Techniker argumentiert, man solle lieber den Sollwert stark erhöhen als die Maschine zu warten. Nenne zwei fachliche Einwände und eine Maßnahme, die das Problem an der Ursache angeht.
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Einwand 1 – Wirtschaftlichkeit: Eine Erhöhung des Sollwerts behebt nur das Symptom. Jeder zusätzliche Milliliter kostet dauerhaft Geld; bei 503,4 ml statt 500 ml sind es bereits 1,36 €/1.000 Flaschen, und der Betrag skaliert mit der Produktion. Eine Überfüllung „auf Verdacht“ ist eine permanente, unbegrenzte Ausgabe.
Einwand 2 – Prozessstabilität: Der beobachtete Mittelwert (500,4 ml) liegt unter dem eingestellten Sollwert (502 ml). Das deutet auf Drift oder systematischen Fehler hin (Ventil, Kalibrierung, Temperatur). Eine Sollwerterhöhung überdeckt diese Drift, statt sie zu beheben – und wenn die Drift weiterläuft, ist der Puffer bald wieder aufgebraucht.
Maßnahme an der Ursache: Regelkarte (SPC) einführen: regelmäßige Stichproben, Mittelwert und Streuung auftragen, Eingriffsgrenzen definieren. Zusätzlich Kalibrierung der Dosierventile prüfen und σ reduzieren – eine kleinere Streuung senkt den nötigen Sollwert und damit die Kosten. Ziel: μ ≈ 503,4 ml bei σ ≤ 1,8 ml, langfristig σ senken.