Wiskunde: Groei van een bacteriepopulatie en antibioticumdoding
In een laboratorium wordt de groei van een bacteriepopulatie (E. coli) bestudeerd. De populatie groeit exponentieel met een verdubbelingstijd van 30 minuten. Op tijdstip t=0 zijn er 1000 bacteriën. Na 2 uur wordt een antibioticum toegevoegd dat de bacteriën doodt met een constante snelheid van 90% per uur (dat wil zeggen dat elke uur 90% van de aanwezige bacteriën wordt gedood). De onderzoeker wil weten hoeveel bacteriën er zijn na 2 uur (vóór antibioticum) en na nog eens 3 uur (dus 5 uur na t=0). Ook vraagt hij zich af of de bacteriën zich kunnen herstellen als het antibioticum na 3 uur wordt verwijderd en de populatie daarna weer groeit met dezelfde verdubbelingstijd.
1. Bereken het aantal bacteriën op t=2 uur (vóór toediening van het antibioticum) en op t=5 uur (3 uur na toediening). Toon de berekening.
Read the worked answer
Stap 1: Berekening vóór antibioticum (t=2 uur).
Verdubbelingstijd = 30 min = 0,5 uur.
Aantal verdubbelingen in 2 uur = 2 / 0,5 = 4.
Aantal bacteriën = 1000 × 2^4 = 1000 × 16 = 16.000.
Stap 2: Berekening na antibioticum (t=5 uur).
Het antibioticum wordt toegediend op t=2 uur. Daarna duurt de blootstelling 3 uur.
De dodingssnelheid is 90% per uur, dus de overlevingsfractie per uur is 10% = 0,1.
Na 3 uur is de overlevingsfractie = (0,1)^3 = 0,001.
Echter, gedurende die 3 uur groeien de bacteriën ook? De opgave zegt: 'een antibioticum toegevoegd dat de bacteriën doodt met een constante snelheid van 90% per uur'. Meestal wordt aangenomen dat de groei stopt tijdens antibioticumwerking, of dat de netto verandering de combinatie is. De tekst zegt niet expliciet dat de groei stopt. Om de berekening eenduidig te maken, nemen we aan dat de groei doorgaat tijdens de antibioticumbehandeling, maar dat de dodingssnelheid overheerst. De netto groeisnelheid is dan: groei = verdubbeling per 0,5 uur, dus per uur is de groeifactor 2^2 = 4. De dodingsfactor per uur is 0,1. De netto factor per uur = 4 × 0,1 = 0,4.
Na 3 uur: aantal = 16.000 × (0,4)^3 = 16.000 × 0,064 = 1024.
Als we aannemen dat de groei stopt tijdens antibioticum, dan is het aantal = 16.000 × (0,1)^3 = 16.000 × 0,001 = 16.
De opgave is ambigu. Voor de veiligheid geven we beide scenario's. Maar de meest realistische interpretatie is dat de groei doorgaat. Echter, de vraag zegt 'een antibioticum toegevoegd dat de bacteriën doodt met een constante snelheid van 90% per uur'. Dat impliceert dat de populatie afneemt met 90% per uur, ongeacht groei. Dus we passen alleen de dodingssnelheid toe op de populatie op t=2. Dan is het aantal na 3 uur = 16.000 × (0,1)^3 = 16.
We kiezen voor de interpretatie dat de groei stopt tijdens antibioticum, omdat anders de dodingssnelheid niet constant is. Dus:
Aantal op t=5 = 16.000 × (0,1)^3 = 16.000 × 0,001 = 16 bacteriën.
Antwoord: Op t=2 uur: 16.000 bacteriën. Op t=5 uur: 16 bacteriën (als groei stopt tijdens antibioticum). Als groei doorgaat: 1024 bacteriën.
2. Stel dat het antibioticum na 3 uur (op t=5 uur) wordt verwijderd en de bacteriën zich herstellen en weer groeien met dezelfde verdubbelingstijd. Hoeveel bacteriën zijn er dan op t=8 uur? Gebruik het aantal bacteriën op t=5 uur dat je bij de vorige vraag hebt berekend (ga uit van 16 bacteriën).
Read the worked answer
Berekening:
Op t=5 uur zijn er 16 bacteriën (uitgaande van de aanname dat groei stopt tijdens antibioticum).
Na verwijdering van het antibioticum groeien ze weer met verdubbelingstijd 30 min = 0,5 uur.
De periode van t=5 tot t=8 is 3 uur.
Aantal verdubbelingen = 3 / 0,5 = 6.
Aantal bacteriën op t=8 = 16 × 2^6 = 16 × 64 = 1024.
Antwoord: Op t=8 uur zijn er 1024 bacteriën. (Als je bij de vorige vraag 1024 had, dan wordt het 1024 × 64 = 65536.)