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La dérivée de ax² vaut 2ax et celle de bx vaut b ; la constante disparaît. Ainsi la dérivée de 3x² est 6x et celle de 5x est 5, d'où f'(x) = 6x + 5.
La distance AB se calcule par la formule √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²). Ici (4−1)² = 9 et (6−2)² = 16, donc AB = √25 = 5.
Pour une fraction rationnelle en n, la limite à l'infini est le rapport des coefficients des termes de plus haut degré. Ici le numérateur a pour coefficient dominant 2 et le dénominateur 1, donc la limite vaut 2.
On regroupe les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre : 2x − 3x = 1 + 7, soit −x = 8. En multipliant par −1, on obtient x = −8.
Le module d'un complexe z = a + bi vaut √(a² + b²). Ici a² + b² = 9 + 16 = 25, donc |z| = √25 = 5.
L'angle π/3 correspond à 60 degrés, dont le cosinus vaut 1/2. Cette valeur se retrouve sur le cercle trigonométrique et dans le triangle équilatéral coupé par une hauteur.
Une primitive de xⁿ est x^(n+1)/(n+1). Ici n = 3, donc une primitive de 4x³ est 4·x⁴/4 = x⁴, à laquelle on peut ajouter une constante.
Le module vaut √(1 + 3) = 2. L'argument θ vérifie cos θ = −1/2 et sin θ = √3/2, ce qui donne θ = 2π/3. D'où z = 2e^(i2π/3).
On dérive : f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée s'annule en −1 et 1 ; elle est négative entre ces valeurs, donc f décroît puis croît en x = 1, qui est un minimum local.
Le nombre de tirages possibles est C(8,2) = 28. Le nombre de tirages de deux rouges est C(3,2) = 3. La probabilité vaut donc 3/28.
On cherche le plus grand multiple de 7 inférieur à 2024 : 7 × 289 = 2023. Le reste est donc 2024 − 2023 = 1… attention, vérifions : 7 × 289 = 2023, d'où un reste de 1. La valeur correcte est bien 1.
Multiplier un complexe par e^(iθ) conserve le module et ajoute θ à l'argument. Cela correspond donc à une rotation de centre O et d'angle θ, ici π/4.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique vaut n(u₁ + u_n)/2. Ici u₁₀ = 3 + 9×4 = 39, donc S = 10×(3 + 39)/2 = 210.
On utilise ln a + ln b = ln(ab) : ln(x(x − 3)) = ln 4, donc x² − 3x − 4 = 0. Les racines sont 4 et −1 ; seule x = 4 appartient au domaine x > 3.
Une asymptote verticale apparaît lorsque le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule au même point. Ici x − 1 = 0 donne x = 1 et le numérateur y vaut 3, non nul.
Une primitive de 3x² est x³. On évalue entre 0 et 1 : 1³ − 0³ = 1. L'intégrale vaut donc 1.
La formule d'Al-Kashi donne BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(60°). Donc BC² = 36 + 64 − 2×6×8×0,5 = 100 − 48 = 52, d'où BC = √52 = 2√13.
On sait que la croissance de l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x. Ainsi x²/e^x tend vers 0 quand x tend vers l'infini, donc f(x) tend vers 0.
On cherche un point fixe : l = 3l + 2 donne l = −1. La suite v_n = u_n + 1 est alors géométrique de raison 3 avec v₀ = 2. Donc u_n = 2·3^n − 1.
Par l'algorithme d'Euclide : 252 = 1×180 + 72, puis 180 = 2×72 + 36, puis 72 = 2×36 + 0. Le dernier reste non nul est 36, donc PGCD(252, 180) = 36.
Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante sur cet intervalle. La constante peut être quelconque, pas nécessairement zéro.
L'ordre intervient et les trois fonctions sont distinctes : il s'agit d'un arrangement. On calcule 12 × 11 × 10 = 1320 bureaux possibles.
La suite (1 + 1/n)^n est croissante et converge vers le nombre e, dont la valeur approchée est 2,718. C'est une caractérisation classique de la constante e.
Une primitive de sin est −cos. On évalue : (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2. L'aire sous la courbe sur une arche positive vaut donc 2.
On effectue la division : x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2. Donc f(x) = x + 1 + 2/(x − 1), et le reste tend vers 0. L'asymptote oblique a pour équation y = x + 1.
L'angle π/4 radians correspond à 45 degrés. Dans un triangle rectangle isocèle, le sinus de 45° vaut le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse, soit 1/√2, qui se rationalise en √2/2. Cette valeur est une valeur remarquable à connaître.
La dérivée de e^(u(x)) est u'(x)e^(u(x)). Ici u(x)=2x donc u'(x)=2, et la dérivée vaut 2e^(2x). Il ne faut pas oublier le facteur 2 provenant de la dérivée de l'exposant.
Pour une fraction rationnelle, la limite en +∞ est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré. Ici, le numérateur a pour terme dominant 3x² et le dénominateur x², donc la limite est 3/1 = 3. Les termes de degré inférieur deviennent négligeables.
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit 1+i. Le numérateur devient (1+i)² = 1 + 2i + i² = 2i, et le dénominateur devient 1² − i² = 2. Le quotient vaut donc i.
On remarque que 8 = 2³. L'équation 2^x = 2³ équivaut à x = 3 car la fonction exponentielle de base 2 est strictement croissante. On peut aussi utiliser les logarithmes : x = ln(8)/ln(2) = 3.
La somme des termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q (avec |q|<1) est a/(1−q). Ici a=1 et q=1/2, donc S = 1/(1−1/2) = 2. Cette formule s'applique car la raison est strictement comprise entre −1 et 1.
Une primitive de e^x est e^x. En appliquant le théorème fondamental du calcul intégral, l'intégrale vaut [e^x]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1. Il faut retrancher la valeur en 0, ce qui donne e − 1.
L'angle π/6 radians correspond à 30 degrés. Dans un triangle équilatéral coupé par une hauteur, le cosinus de 30° vaut le côté adjacent sur l'hypoténuse, soit √3/2. C'est une valeur remarquable du cercle trigonométrique.
Les solutions de y' = ay sont de la forme y(x) = C e^(ax). Ici a=2, donc y(x) = C e^(2x). La condition y(0)=3 donne C e⁰ = C = 3, d'où y(x) = 3e^(2x).
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x;y) et v(x';y') est xx' + yy'. Ici, cela donne 2×3 + (−1)×4 = 6 − 4 = 2. Il ne faut pas oublier le signe négatif de la coordonnée −1.
Le nombre de pile suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=1/2. La probabilité d'obtenir exactement 2 pile est C(3,2)×(1/2)²×(1/2)¹ = 3/8. Il y a trois façons d'obtenir deux pile : PPC, PCP, CPP.
Sur ]0 ; +∞[, une primitive de 1/x est ln(x). La condition F(1)=0 donne ln(1)+C = 0 + C = 0, donc C=0. La primitive cherchée est donc F(x) = ln(x).
Le module de z est √(1² + (√3)²) = √4 = 2. Un argument θ vérifie cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3. La forme trigonométrique est donc 2(cos(π/3) + i sin(π/3)).
On applique la formule de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv'. Ici u(x)=x et v(x)=ln(x), donc u'(x)=1 et v'(x)=1/x. La dérivée est 1×ln(x) + x×(1/x) = ln(x) + 1.
La somme des n premiers nombres impairs vaut n². Ici, il y a 50 termes (de 1 à 99), donc S = 50² = 2500. On peut aussi utiliser la formule de la somme d'une suite arithmétique : nombre de termes × (premier + dernier)/2 = 50×(1+99)/2 = 2500.
On écrit 8 = 2³. L'équation devient 2^(x+1) = 2³, donc x+1 = 3, soit x = 2. La fonction exponentielle de base 2 est injective, ce qui permet d'identifier les exposants.
La dérivée de f(x)=x² est f'(x)=2x, donc f'(1)=2. Le point de contact est (1 ; f(1)) = (1 ; 1). L'équation de la tangente est y = f'(1)(x−1) + f(1) = 2(x−1) + 1 = 2x − 1.
On utilise l'algorithme d'Euclide : 48 = 36×1 + 12, puis 36 = 12×3 + 0. Le dernier reste non nul est 12, donc PGCD(48,36)=12. On peut aussi décomposer : 48=2⁴×3 et 36=2²×3², le PGCD est 2²×3=12.
On divise numérateur et dénominateur par n² : u_n = (3 + 2/n + 1/n²)/(1 + 5/n²). Lorsque n tend vers +∞, les termes en 1/n et 1/n² tendent vers 0, donc la limite est 3/1 = 3.
Une primitive de cos(x) est sin(x). L'intégrale vaut donc [sin(x)]₀^(π/2) = sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1. Il faut évaluer la primitive aux deux bornes et soustraire.
La rotation de centre O et d'angle θ a pour écriture complexe z ↦ z e^(iθ). Ici θ=π/2, donc e^(iπ/2)=i. L'image de z=2 est 2×i = 2i.
Les tangentes horizontales correspondent aux points où f'(x)=0. Ici f'(x)=3x²−3=3(x²−1), qui s'annule en x=−1 et x=1. Il y a donc deux abscisses distinctes, donc deux tangentes horizontales.
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2, de premier terme 1 et de dernier terme 2^10. Le nombre de termes est 11 (de 2⁰ à 2^10). La somme vaut (1−2^11)/(1−2) = 2^11 − 1 = 2048 − 1 = 2047.
On factorise le numérateur : x²+3x+2 = (x+1)(x+2). Pour x ≠ −1, f(x) = x+2. La limite en −1 est donc −1+2 = 1. La fonction n'est pas définie en −1 mais admet une limite finie en ce point.
On étudie les puissances de 3 modulo 7 : 3¹≡3, 3²≡2, 3³≡6, 3⁴≡4, 3⁵≡5, 3⁶≡1. La période est 6. Or 100 = 6×16 + 4, donc 3^100 ≡ 3⁴ ≡ 4 (mod 7).