Dimensionnement d'un arbre de transmission en torsion
Un arbre de transmission en acier C40 (Re = 400 MPa) doit transmettre une puissance de 15 kW à une vitesse de 750 tr/min. La longueur entre paliers est de 800 mm. L'arbre supporte un pignon à mi-portée, ce qui introduit une charge radiale de 1200 N. On suppose que l'arbre est simplement posé sur deux roulements. Le coefficient de sécurité souhaité est de 2. On demande de dimensionner le diamètre de l'arbre en utilisant le critère de résistance en torsion et en flexion combinées (von Mises). On négligera les concentrations de contrainte dans un premier temps.
1. Calculer le moment de torsion, le moment fléchissant maximal et déterminer le diamètre minimal de l'arbre avec le critère de von Mises et un coefficient de sécurité de 2.
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Le moment de torsion T = P / ω, avec ω = 2πN/60 = 2π750/60 = 78,54 rad/s. T = 15000 / 78,54 = 191 N·m. La charge radiale de 1200 N à mi-portée crée un moment fléchissant maximal Mf = FL/4 = 12000,8/4 = 240 N·m. Le moment idéal de von Mises pour un arbre plein est Mi = sqrt(Mf² + 0,75T²) = sqrt(240² + 0,75191²) = sqrt(57600 + 0,7536481) = sqrt(57600 + 27360,75) = sqrt(84960,75) = 291,5 N·m. La contrainte équivalente σ_eq = Mi / (πd³/32) = 32Mi / (πd³). On impose σ_eq ≤ Re/s = 400/2 = 200 MPa. Donc d³ ≥ 32291,5 / (π*200e6) = 9328 / (6,283e8) = 1,485e-5 m³. d ≥ (1,485e-5)^(1/3) = 0,0246 m = 24,6 mm. On choisit un diamètre normalisé de 25 mm. Il faudrait ensuite vérifier les concentrations de contrainte et la flèche.
2. Vérifier la flèche maximale de l'arbre sous la charge radiale seule. La flèche admissible est de 0,1 mm. Le module d'Young de l'acier est de 210 GPa. Le diamètre retenu est de 25 mm. Conclure.
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La flèche maximale d'une poutre simplement appuyée avec charge centrée est f = FL³ / (48EI). Le moment d'inertie I = πd⁴/64 = π*(0,025)^4/64 = π3,90625e-7/64 = 1,917e-8 m⁴. E = 210e9 Pa. L = 0,8 m. F = 1200 N. f = 12000,8³ / (48210e91,917e-8) = 12000,512 / (48210e91,917e-8). Le dénominateur : 48210e9 = 1,008e13 ; 1,917e-8 = 1,932e5. Le numérateur : 614,4. f = 614,4 / 1,932e5 = 0,00318 m = 3,18 mm. La flèche admissible est de 0,1 mm, donc la flèche calculée est 31,8 fois trop grande. L'arbre de 25 mm est donc largement sous-dimensionné en rigidité. Il faut augmenter le diamètre. Pour f ≤ 0,1 mm, il faut I ≥ FL³/(48E0,0001) = 614,4 / (48210e90,0001) = 614,4 / (1,008e6) = 6,095e-4 m⁴. Donc d ≥ (64I/π)^(1/4) = (646,095e-4/π)^(1/4) = (0,01241)^(1/4) = 0,187 m = 187 mm. C'est énorme, ce qui suggère que la charge ou la portée sont irréalistes, ou qu'il faut ajouter des supports intermédiaires. En pratique, on réduirait la portée ou on utiliserait un acier plus rigide, mais surtout on vérifierait les données.