Contrôle statistique du remplissage et décision industrielle
La Laiterie du Kasaï conditionne du lait en sachets de 500 g. Le cahier des charges client exige un poids moyen de 500 g. Un contrôle qualité porte sur un échantillon aléatoire de 100 sachets prélevés en fin de ligne : moyenne 498,0 g, écart-type 6,0 g. La direction industrielle affirme que l'écart n'est pas significatif et que la machine est conforme ; le service qualité estime au contraire qu'il faut arrêter et régler la doseuse, ce qui coûterait 4 000 USD de production perdue. Le directeur général veut une décision fondée sur un test statistique au seuil de 5 %. Il s'interroge aussi sur le risque de se tromper : régler une machine qui fonctionne correctement, ou laisser passer un sous-remplissage qui expose à une amende de 25 000 USD et à la perte du client. La production journalière est de 80 000 sachets.
1. Construisez l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne et interprétez-le.
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L'écart-type de la moyenne (erreur standard) vaut :
s / √n = 6 / √100 = 6 / 10 = 0,60 g.
Pour un niveau de confiance de 95 %, le coefficient normal est 1,96 (l'échantillon est grand, n = 100). La marge d'erreur est donc :
1,96 × 0,60 = 1,176 g.
Intervalle : 498,0 ± 1,176, soit [496,82 ; 499,18] g.
Interprétation : si l'on répétait l'échantillonnage de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles ainsi calculés contiendraient la vraie moyenne du processus. Ici, l'intervalle ne contient pas 500 g : la moyenne observée est statistiquement inférieure à la cible. Attention : l'intervalle porte sur la moyenne du processus, pas sur le poids de chaque sachet ; il ne dit pas que tous les sachets pèsent entre 496,82 et 499,18 g.
2. Testez H0 : µ = 500 g contre H1 : µ < 500 g au seuil de 5 %. Concluez.
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On pose :
- H0 : µ = 500 g (la doseuse est correctement réglée) ;
- H1 : µ < 500 g (sous-remplissage).
Statistique de test :
z = (x̄ − µ0) / (s / √n) = (498 − 500) / 0,60 = −2 / 0,60 = −3,33.
Le test est unilatéral à gauche. Au seuil de 5 %, la valeur critique est −1,645. La règle de décision est de rejeter H0 si z < −1,645. Or −3,33 < −1,645 : on rejette H0.
La p-value approximative est P(Z < −3,33) ≈ 0,0004, très inférieure à 0,05. Le résultat est donc hautement significatif : il est très improbable d'observer une moyenne de 498 g avec un écart-type de 6 g sur 100 sachets si la vraie moyenne était de 500 g.
Conclusion : la ligne sous-remplit de façon statistiquement significative. Il faut arrêter et vérifier le réglage de la doseuse, puis prélever un nouvel échantillon après réglage.
3. Expliquez les risques de première et de seconde espèce et recommandez une décision en tenant compte des coûts.
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Risque de première espèce (α) : rejeter H0 alors qu'elle est vraie, c'est-à-dire arrêter et régler une machine qui fonctionnait correctement. Conséquence : 4 000 USD de production perdue et un arrêt inutile. Avec un seuil de 5 %, ce risque est limité à 5 %.
Risque de seconde espèce (β) : ne pas rejeter H0 alors que la machine sous-remplit réellement. Conséquence : des sachets sous-pondérés partent chez le client, avec un risque d'amende de 25 000 USD, de perte du client et d'atteinte à la réputation. Ce risque est beaucoup plus coûteux.
Décision : arrêter et régler. Le test rejette H0 avec une p-value de 0,0004 ; le risque de se tromper en arrêtant est donc infime, alors que le coût d'un sous-remplissage non détecté est très supérieur. Le coût d'arrêt (4 000 USD) est inférieur à l'amende seule (25 000 USD), sans compter la perte commerciale. Il faut toutefois vérifier la chaîne de mesure (balance, prélèvement), régler la doseuse, puis refaire un échantillon de contrôle. Si la production est critique, on peut aussi isoler le lot produit depuis le dernier contrôle conforme plutôt que de le livrer.