Mathématiques - un comptage de panneaux solaires qui ne se laisse pas réduire à des aires
Le collège réaménage son gymnase. La toiture est un rectangle de 18 m de long sur 9 m de large. La direction veut y installer des panneaux photovoltaïques rectangulaires de 1,50 m sur 1,00 m, posés à plat, tous dans le même sens, avec un espace de 0,30 m entre deux panneaux et une marge de 0,50 m par rapport à chaque bord du toit (ces espaces servent à la circulation et à la fixation).
Léa propose : « Aire du toit = 18 × 9 = 162 m². Aire d'un panneau = 1,50 × 1,00 = 1,50 m². 162 ÷ 1,50 = 108. On peut donc poser 108 panneaux. » Le professeur attend une réponse proche de 54.
L'énoncé demandait aussi : « Quel pourcentage de la surface du toit est couvert par les panneaux ? » Léa n'a pas traité cette question. Le barème du sujet comporte 4 questions ; celle-ci est sur 4 points et les compétences « chercher » et « modéliser » y sont évaluées.
1. Expliquez pourquoi le calcul de Léa est faux et déterminez le nombre maximal réel de panneaux, en examinant les deux orientations possibles.
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Nature de l'erreur. Léa traite un problème de pavage comme un problème de partage d'aire. Diviser des aires suppose que la matière est sécable : or un panneau ne se coupe pas, et les espaces imposés interdisent de remplir les chutes. Son résultat (108) vaut exactement le double du réel, ce qui est un indice fort : elle a raisonné comme si les panneaux se touchaient et couvraient tout le toit.
Orientation A (1,50 m dans le sens de la longueur).
- Longueur utile : 18 − 2 × 0,50 = 17 m. Avec n panneaux : 1,50n + 0,30(n − 1) ≤ 17, soit 1,8n ≤ 17,3, donc n ≤ 9,61 → 9 panneaux.
- Largeur utile : 9 − 1 = 8 m. 1,00n + 0,30(n − 1) ≤ 8, soit 1,3n ≤ 8,3, donc n ≤ 6,38 → 6 panneaux.
- Total : 9 × 6 = 54 panneaux.
Orientation B (rotation de 90°).
- Longueur : 1,00n + 0,30(n − 1) ≤ 17 → n ≤ 13,3 → 13.
- Largeur : 1,50n + 0,30(n − 1) ≤ 8 → n ≤ 4,61 → 4.
- Total : 13 × 4 = 52 panneaux.
Conclusion. Le maximum est 54 panneaux (orientation A). Surface couverte : 54 × 1,50 = 81 m², soit 81/162 = 50 % du toit.
2. Décidez comment noter cette question et comment formuler le retour, sachant que Léa a traité correctement les trois autres questions.
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Sur la note. L'erreur n'est ni de calcul ni de lecture d'énoncé : c'est une erreur de modélisation, et elle rend la réponse finale fausse. La question étant sur 4 points et évaluant explicitement « modéliser », attribuer 0 à 1 point est défendable ; il faut surtout séparer les compétences : « calculer » est acquise (les opérations sur les aires sont justes), « modéliser » ne l'est pas. Écrire 0 sans distinguer les deux reviendrait à effacer ce que Léa sait faire.
Sur le retour. Un retour utile ne dit pas « c'est faux » mais montre où le raisonnement décroche, par un contre-exemple à taille humaine :
- « Une bande de 3 m de long, des panneaux de 1,20 m avec 0,30 m d'écart : on place 2 panneaux (1,20 + 0,30 + 1,20 = 2,70 m), pas 2,5. Les chutes ne se recyclent pas. »
- Puis faire tracer un schéma à l'échelle du toit avec les marges : le passage à l'écriture 1,50n + 0,30(n − 1) ≤ 17 devient visuel.
Sur le sens du nombre. Faire commenter l'écart 108 / 54 : un facteur 2 doit alerter. C'est l'occasion d'installer l'habitude de contrôle de vraisemblance, très rentable en situation d'examen.
3. Proposez une variable didactique : quelle modification de l'énoncé permettrait de vérifier que Léa a transféré le raisonnement plutôt qu'elle n'a mémorisé la formule ?
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Changer la contrainte, pas les nombres. Trois variantes possibles, à choisir selon le temps disponible :
- Espacement réduit à 0,10 m : 1,8n − 0,2 ≤ 17 … les mêmes mécanismes sont mobilisés mais aucun résultat ne peut être récité. On vérifie que l'élève reconstruit l'inégalité (n panneaux + n − 1 espaces).
- Toit non rectangulaire (par exemple avec une cheminée de 2 m × 1,50 m dans un angle) : le comptage par bandes reste possible mais il faut soustraire une zone ; cela teste la capacité à découper un problème.
- Contrainte inverse : « on veut poser exactement 60 panneaux, quelle largeur de marge maximale peut-on s'autoriser ? » Le problème devient une résolution d'inéquation d'inconnue la marge, ce qui vérifie la maîtrise de l'outil algébrique et pas seulement du calcul numérique.
Critère de réussite : l'élève écrit explicitement « n panneaux et (n − 1) espaces ». Tant que cette phrase n'apparaît pas, le raisonnement n'est pas stabilisé, même si le résultat est juste.