Mathématiques - suites, fonctions logarithmes et probabilités
Les mathématiques de la série A sont orientées vers l'analyse, les suites et les probabilités, avec des exercices souvent guidés (« en déduire que… »). L'épreuve valorise la rigueur du raisonnement autant que le résultat : poser le domaine, justifier une équivalence, conclure par une phrase.
Suites
- Arithmétique : u(n) = u(0) + n r ; somme des n premiers termes = n(u(0) + u(n−1))/2.
- Géométrique : u(n) = u(0) × q^n ; somme = u(0) × (1 − q^(n))/(1 − q) si q ≠ 1.
- Convergence : une suite géométrique converge vers 0 si |q| < 1 ; on étudie souvent une suite auxiliaire v(n) = u(n) − L pour montrer qu'elle est géométrique.
Fonctions et dérivation
Le signe de f′ donne les variations ; la tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Pour le logarithme : domaine x > 0 ; ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(a^n) = n ln a ; ln 1 = 0, ln e = 1. Pour l'exponentielle : e^(a+b) = e^a × e^b ; e^(ln x) = x pour x > 0.
Probabilités et statistiques
Équiprobabilité : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles ; arbre pondéré pour les tirages successifs ; indépendance si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; espérance d'une variable aléatoire ; moyenne, médiane et écart-type d'une série.
Exemple travaillé
Résoudre ln(x − 2) + ln(x + 1) = ln 4. Domaine : x − 2 > 0 et x + 1 > 0, donc x > 2. On regroupe : ln[(x − 2)(x + 1)] = ln 4, d'où (x − 2)(x + 1) = 4, soit x² − x − 6 = 0. Le discriminant vaut 25, les racines sont 3 et −2. Or −2 est exclu par le domaine : la seule solution est x = 3. Vérification : ln 1 + ln 4 = ln 4, ce qui est exact.
Les pièges qui coûtent des points
Oublier le domaine de définition ; écrire ln(a + b) = ln a + ln b ; perdre le signe de f′ dans le tableau de variations ; confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine ; arrondir trop tôt ; donner une racine sans vérifier ni conclure ; oublier de justifier qu'une suite auxiliaire est géométrique avant d'utiliser sa raison.