Clôture d'une parcelle maraîchère à Agboville
À Agboville, un jeune maraîcher dispose de 80 m de grillage pour clôturer une parcelle rectangulaire adossée à une rivière. Le côté longeant la rivière n'a pas besoin de clôture, mais il faut laisser une ouverture de 4 m sur le côté opposé pour le passage des brouettes. Il veut consacrer toute la longueur de grillage à la clôture et cherche les dimensions qui rendent la surface cultivable maximale. Un acheteur lui propose un contrat à condition que la parcelle atteigne au moins 600 m². Un voisin affirme qu'il suffit de faire un carré pour avoir la plus grande surface possible. Le maraîcher hésite aussi à acheter des poteaux tous les 3 m, à 1500 FCFA l'unité, en plus du grillage qui coûte 2500 FCFA le mètre. Il dispose d'un budget de 250 000 FCFA et veut savoir si son projet est réalisable avant de signer le contrat.
1. En notant x la longueur des deux côtés perpendiculaires à la rivière et y la longueur totale du côté parallèle à la rivière, exprimer y en fonction de x, puis établir l'expression de l'aire A(x). Préciser le domaine de x et justifier chaque étape.
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La clôture couvre les deux côtés de longueur x et le côté parallèle à la rivière, diminué de l'ouverture de 4 m. On a donc :
2x + (y − 4) = 80.
D'où y = 84 − 2x.
Les contraintes physiques sont x > 0 et y − 4 > 0, car l'ouverture doit être strictement plus petite que le côté qui la porte. Cela donne 84 − 2x > 4, soit x < 40. Le domaine utile est donc ]0 ; 40[.
L'aire de la parcelle est A(x) = x × y = x(84 − 2x) = −2x² + 84x.
Il faut vérifier que l'ouverture est bien sur le côté opposé à la rivière : si elle était sur un côté x, l'équation de clôture serait différente. Le modèle retenu est donc cohérent avec l'énoncé.
2. Déterminer les dimensions qui maximisent l'aire, calculer ce maximum et dire si le contrat de 600 m² peut être honoré. Le voisin affirme qu'un carré est optimal : vérifier cette affirmation dans le cadre du problème.
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La fonction A(x) = −2x² + 84x est un trinôme du second degré avec a = −2 < 0 : elle admet un maximum au sommet.
x = −b/(2a) = −84/(2 × (−2)) = 21.
Alors y = 84 − 2 × 21 = 42, et le côté clôturé opposé à la rivière mesure 42 − 4 = 38 m.
L'aire maximale vaut A(21) = 21 × 42 = 882 m². Comme A(0) = 0 et que A(x) tend vers 0 quand x tend vers 40, ce maximum est bien global sur le domaine.
Le contrat exige au moins 600 m² : 882 > 600, donc il peut être honoré.
Le voisin se trompe. Un carré signifierait x = y, donc 2x + (x − 4) = 80, soit 3x = 84 et x = 28. L'aire serait 28² = 784 m², inférieure à 882 m². Le carré est optimal lorsque les quatre côtés sont clôturés à périmètre fixe ; ici, la rivière joue le rôle de côté gratuit, ce qui déplace l'optimum.
3. Le grillage coûte 2500 FCFA le mètre et les poteaux 1500 FCFA l'unité, placés au plus tous les 3 m, aux extrémités et aux angles. Calculer un majorant du coût pour la parcelle optimale et conclure sur le budget de 250 000 FCFA. Mentionner la marge et une précaution pratique.
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Le grillage représente 80 × 2500 = 200 000 FCFA.
Pour la parcelle optimale, la clôture forme deux segments séparés par l'ouverture de 4 m. Avec un espacement maximal de 3 m, il faut au moins ceil(80/3) = 27 intervalles, donc 27 + 2 = 29 poteaux si l'on compte un poteau supplémentaire par segment. En pratique, selon la position exacte de l'ouverture, il faut plutôt prévoir 30 poteaux.
Coût des poteaux : 30 × 1500 = 45 000 FCFA. Total : 200 000 + 45 000 = 245 000 FCFA.
Le budget de 250 000 FCFA suffit, mais la marge n'est que de 5000 FCFA. Cette marge est trop faible pour absorber les chutes de grillage, les fixations, le fil de tension et la main-d'œuvre. Il faut donc confirmer le nombre exact de poteaux avant achat, puis éventuellement négocier le prix ou réduire légèrement l'ouverture.