Mathématiques - série C
Ce que l’épreuve évalue
En série C, les mathématiques pèsent lourd : l’épreuve vérifie la maîtrise de l’analyse (limites, continuité, dérivabilité, primitives, intégrales, équations différentielles), des suites, des nombres complexes, de l’arithmétique, des probabilités et de la géométrie. Le correcteur attend des théorèmes cités avec leurs hypothèses, des calculs justifiés et une conclusion rédigée.
Règles et concepts à consolider
- Toute étude de fonction commence par l’ensemble de définition, puis les limites aux bornes.
- Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur un intervalle fermé et un changement de signe aux bornes ; il ne donne pas la valeur exacte de la solution.
- La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse.
- Une primitive se vérifie par dérivation ; ne pas oublier la constante et les valeurs absolues dans les primitives de 1/x.
- Pour une intégrale par substitution, il faut aussi transformer les bornes.
- Dans les complexes, savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, et interpréter le module et l’argument.
Exemple rédigé
Calculer I = ∫ de 1 à e de (ln x)/x dx. On pose u = ln x, donc du = dx/x. Quand x = 1, u = 0 ; quand x = e, u = 1. Alors I = ∫ de 0 à 1 de u du = [u²/2] de 0 à 1 = 1/2. Vérification : la dérivée de (1/2)(ln x)² est (ln x)/x, ce qui redonne l’intégrande. La conclusion doit être explicite : I = 1/2.
Pièges qui coûtent des marks
Confondre continuité et dérivabilité ; appliquer le TVI sans vérifier ses hypothèses ; oublier le domaine avant de composer une fonction réciproque ; intégrer sans changer les bornes ; donner une primitive sans constante dans un calcul de fonction ; mal convertir les degrés et les radians en trigonométrie ; conclure une étude de suite sans justifier la convergence. Une calculatrice peut aider à conjecturer, jamais à remplacer une démonstration.